Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrniotaval Structured version   Unicode version

Theorem ltrniotaval 34507
Description: Value of the unique translation specified by a value. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrniotaval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrniotaval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrniotaval.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrniotaval.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
ltrniotaval.f  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  Q )
Assertion
Ref Expression
ltrniotaval  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  Q )
Distinct variable groups:    A, f    f, H    f, K    .<_ , f    P, f    Q, f    T, f   
f, W
Allowed substitution hint:    F( f)

Proof of Theorem ltrniotaval
StepHypRef Expression
1 ltrniotaval.l . . 3  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 ltrniotaval.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 ltrniotaval.h . . 3  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 ltrniotaval.t . . 3  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
51, 2, 3, 4cdleme 34486 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  E! f  e.  T  ( f `  P )  =  Q )
6 ltrniotaval.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  Q )
7 nfriota1 6144 . . . . . . 7  |-  F/_ f
( iota_ f  e.  T  ( f `  P
)  =  Q )
86, 7nfcxfr 2608 . . . . . 6  |-  F/_ f F
9 nfcv 2610 . . . . . 6  |-  F/_ f P
108, 9nffv 5782 . . . . 5  |-  F/_ f
( F `  P
)
1110nfeq1 2624 . . . 4  |-  F/ f ( F `  P
)  =  Q
12 fveq1 5774 . . . . 5  |-  ( f  =  F  ->  (
f `  P )  =  ( F `  P ) )
1312eqeq1d 2452 . . . 4  |-  ( f  =  F  ->  (
( f `  P
)  =  Q  <->  ( F `  P )  =  Q ) )
1411, 6, 13riotaprop 6161 . . 3  |-  ( E! f  e.  T  ( f `  P )  =  Q  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  Q ) )
1514simprd 463 . 2  |-  ( E! f  e.  T  ( f `  P )  =  Q  ->  ( F `  P )  =  Q )
165, 15syl 16 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1757   E!wreu 2794   class class class wbr 4376   ` cfv 5502   iota_crio 6136   lecple 14333   Atomscatm 33190   HLchlt 33277   LHypclh 33910   LTrncltrn 34027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-rep 4487  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-riotaBAD 32886
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-reu 2799  df-rmo 2800  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-iun 4257  df-iin 4258  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-riota 6137  df-ov 6179  df-oprab 6180  df-mpt2 6181  df-1st 6663  df-2nd 6664  df-undef 6878  df-map 7302  df-poset 15204  df-plt 15216  df-lub 15232  df-glb 15233  df-join 15234  df-meet 15235  df-p0 15297  df-p1 15298  df-lat 15304  df-clat 15366  df-oposet 33103  df-ol 33105  df-oml 33106  df-covers 33193  df-ats 33194  df-atl 33225  df-cvlat 33249  df-hlat 33278  df-llines 33424  df-lplanes 33425  df-lvols 33426  df-lines 33427  df-psubsp 33429  df-pmap 33430  df-padd 33722  df-lhyp 33914  df-laut 33915  df-ldil 34030  df-ltrn 34031  df-trl 34085
This theorem is referenced by:  ltrniotacnvval  34508  ltrniotaidvalN  34509  ltrniotavalbN  34510  cdlemm10N  35045  cdlemn2  35122  cdlemn3  35124  cdlemn9  35132  dihmeetlem13N  35246  dih1dimatlem0  35255  dihjatcclem3  35347
  Copyright terms: Public domain W3C validator