Theorem ltrnid 34118

Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom W are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrneq.b	|- B = ( Base ` K )
ltrneq.l	|- .<_ = ( le ` K )
ltrneq.a	|- A = ( Atoms ` K )
ltrneq.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrneq.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrnid	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) <-> F = ( _I |` B ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   F, p   H, p   K, p   T, p   W, p

Allowed substitution hint:   .<_ ( p)

Proof of Theorem ltrnid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp-4l 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> K e. HL )
2		ltrneq.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
4		ltrneq.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ltrnlaut 34106	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
6	5	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> F e. ( LAut ` K ) )
7		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
8		simplll 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> F e. T )
10		ltrneq.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( Base ` K )
11		ltrneq.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( Atoms ` K )
12	10, 11	atbase 33273	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. A -> p e. B )
13	12	ad2antlr 726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> p e. B )
14		simpr 461	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> p .<_ W )
15		ltrneq.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .<_ = ( le ` K )
16	10, 15, 2, 4	ltrnval1 34117	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( p e. B /\ p .<_ W ) ) -> ( F ` p ) = p )
17	8, 9, 13, 14, 16	syl112anc 1223	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> ( F ` p ) = p )
18	17	ex 434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) )
19		pm2.61 171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( F ` p ) = p ) )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( F ` p ) = p ) )
21	20	ralimdva 2832	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p ) )
22	21	imp 429	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p )
23	22	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p )
24	10, 11, 3	lauteq 34078	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ F e. ( LAut ` K ) /\ x e. B ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = p ) -> ( F ` x ) = x )
25	1, 6, 7, 23, 24	syl31anc 1222	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = x )
26		fvresi 6014	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
27	26	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
28	25, 27	eqtr4d 2498	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) )
29	28	ralrimiva 2830	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) )
30	10, 2, 4	ltrn1o 34107	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
31	30	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
32		f1ofn 5751	. . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> B -> F Fn B )
33	31, 32	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F Fn B )
34		fnresi 5637	. . . . 5 |- ( _I |` B ) Fn B
35		eqfnfv 5907	. . . . 5 |- ( ( F Fn B /\ ( _I |` B ) Fn B ) -> ( F = ( _I |` B ) <-> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) ) )
36	33, 34, 35	sylancl 662	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> ( F = ( _I |` B ) <-> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) ) )
37	29, 36	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F = ( _I |` B ) )
38	37	ex 434	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> F = ( _I |` B ) ) )
39	12	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> p e. B )
40		fvresi 6014	. . . . . 6 |- ( p e. B -> ( ( _I |` B ) ` p ) = p )
41	39, 40	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( _I |` B ) ` p ) = p )
42		fveq1 5799	. . . . . 6 |- ( F = ( _I |` B ) -> ( F ` p ) = ( ( _I |` B ) ` p ) )
43	42	eqeq1d 2456	. . . . 5 |- ( F = ( _I |` B ) -> ( ( F ` p ) = p <-> ( ( _I |` B ) ` p ) = p ) )
44	41, 43	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( F = ( _I |` B ) -> ( F ` p ) = p ) )
45	44	a1dd 46	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( F = ( _I |` B ) -> ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) )
46	45	ralrimdva 2912	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( F = ( _I |` B ) -> A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) )
47	38, 46	impbid 191	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) <-> F = ( _I |` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   A.wral 2799   class class class wbr 4401   _I cid 4740   |` cres 4951   Fn wfn 5522   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527   Basecbs 14293   lecple 14365   Atomscatm 33247   HLchlt 33334   LHypclh 33967   LAutclaut 33968   LTrncltrn 34084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-map 7327  df-poset 15236  df-plt 15248  df-lub 15264  df-glb 15265  df-join 15266  df-meet 15267  df-p0 15329  df-lat 15336  df-clat 15398  df-oposet 33160  df-ol 33162  df-oml 33163  df-covers 33250  df-ats 33251  df-atl 33282  df-cvlat 33306  df-hlat 33335  df-laut 33972  df-ldil 34087  df-ltrn 34088

This theorem is referenced by:  ltrnnid  34119