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Theorem ltrnid 36256
Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom  W are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrneq.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrneq.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrneq.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrneq.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnid  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  <-> 
F  =  (  _I  |`  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    F, p    H, p    K, p    T, p    W, p
Allowed substitution hint:    .<_ ( p)

Proof of Theorem ltrnid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4l 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  HL )
2 ltrneq.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ltrneq.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrnlaut 36244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
65ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
7 simpr 459 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
8 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  F  e.  T )
10 ltrneq.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 ltrneq.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1210, 11atbase 35411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
1312ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  p  e.  B )
14 simpr 459 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  p  .<_  W )
15 ltrneq.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .<_  =  ( le `  K )
1610, 15, 2, 4ltrnval1 36255 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  B  /\  p  .<_  W ) )  ->  ( F `  p )  =  p )
178, 9, 13, 14, 16syl112anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  ( F `  p )  =  p )
1817ex 432 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p ) )
19 pm2.61 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  -> 
( ( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
2120ralimdva 2862 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p ) )
2221imp 427 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )
2322adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )
2410, 11, 3lauteq 36216 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  ( LAut `  K )  /\  x  e.  B )  /\  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  x )  =  x )
251, 6, 7, 23, 24syl31anc 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  x )
26 fvresi 6073 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2726adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2825, 27eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) )
2928ralrimiva 2868 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 x ) )
3010, 2, 4ltrn1o 36245 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
3130adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
32 f1ofn 5799 . . . . . 6  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  B )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F  Fn  B )
34 fnresi 5680 . . . . 5  |-  (  _I  |`  B )  Fn  B
35 eqfnfv 5957 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  (  _I  |`  B )  Fn  B )  -> 
( F  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
3633, 34, 35sylancl 660 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
3729, 36mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F  =  (  _I  |`  B ) )
3837ex 432 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  ->  F  =  (  _I  |`  B )
) )
3912adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  B )
40 fvresi 6073 . . . . . 6  |-  ( p  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 p )  =  p )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 p )  =  p )
42 fveq1 5847 . . . . . 6  |-  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( F `  p )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 p ) )
4342eqeq1d 2456 . . . . 5  |-  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ( F `
 p )  =  p  <->  ( (  _I  |`  B ) `  p
)  =  p ) )
4441, 43syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
4544a1dd 46 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) ) )
4645ralrimdva 2872 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p ) ) )
4738, 46impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  <-> 
F  =  (  _I  |`  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   class class class wbr 4439    _I cid 4779    |` cres 4990    Fn wfn 5565   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   Basecbs 14716   lecple 14791   Atomscatm 35385   HLchlt 35472   LHypclh 36105   LAutclaut 36106   LTrncltrn 36222
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-lat 15875  df-clat 15937  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226
This theorem is referenced by:  ltrnnid  36257
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