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Theorem ltrnid 34118
Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom  W are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrneq.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrneq.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrneq.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrneq.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrneq.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnid  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  <-> 
F  =  (  _I  |`  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p    F, p    H, p    K, p    T, p    W, p
Allowed substitution hint:    .<_ ( p)

Proof of Theorem ltrnid
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp-4l 765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  K  e.  HL )
2 ltrneq.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2454 . . . . . . . . 9  |-  ( LAut `  K )  =  (
LAut `  K )
4 ltrneq.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrnlaut 34106 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( LAut `  K )
)
65ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  F  e.  ( LAut `  K
) )
7 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  x  e.  B )
8 simplll 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  F  e.  T )
10 ltrneq.b . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 ltrneq.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1210, 11atbase 33273 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( p  e.  A  ->  p  e.  B )
1312ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  p  e.  B )
14 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  p  .<_  W )
15 ltrneq.l . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .<_  =  ( le `  K )
1610, 15, 2, 4ltrnval1 34117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  B  /\  p  .<_  W ) )  ->  ( F `  p )  =  p )
178, 9, 13, 14, 16syl112anc 1223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  /\  p  .<_  W )  ->  ( F `  p )  =  p )
1817ex 434 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p ) )
19 pm2.61 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  -> 
( ( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
2018, 19syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
2120ralimdva 2832 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p ) )
2221imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )
2410, 11, 3lauteq 34078 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  ( LAut `  K )  /\  x  e.  B )  /\  A. p  e.  A  ( F `  p )  =  p )  ->  ( F `  x )  =  x )
251, 6, 7, 23, 24syl31anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  x )
26 fvresi 6014 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2726adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 x )  =  x )
2825, 27eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  /\  x  e.  B )  ->  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) )
2928ralrimiva 2830 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 x ) )
3010, 2, 4ltrn1o 34107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
3130adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
32 f1ofn 5751 . . . . . 6  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  F  Fn  B )
3331, 32syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F  Fn  B )
34 fnresi 5637 . . . . 5  |-  (  _I  |`  B )  Fn  B
35 eqfnfv 5907 . . . . 5  |-  ( ( F  Fn  B  /\  (  _I  |`  B )  Fn  B )  -> 
( F  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
3633, 34, 35sylancl 662 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  <->  A. x  e.  B  ( F `  x )  =  ( (  _I  |`  B ) `  x
) ) )
3729, 36mpbird 232 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) )  ->  F  =  (  _I  |`  B ) )
3837ex 434 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  ->  F  =  (  _I  |`  B )
) )
3912adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  p  e.  B )
40 fvresi 6014 . . . . . 6  |-  ( p  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 p )  =  p )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 p )  =  p )
42 fveq1 5799 . . . . . 6  |-  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( F `  p )  =  ( (  _I  |`  B ) `
 p ) )
4342eqeq1d 2456 . . . . 5  |-  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( ( F `
 p )  =  p  <->  ( (  _I  |`  B ) `  p
)  =  p ) )
4441, 43syl5ibrcom 222 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( F `  p )  =  p ) )
4544a1dd 46 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  A )  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p ) ) )
4645ralrimdva 2912 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( F  =  (  _I  |`  B )  ->  A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  ->  ( F `  p )  =  p ) ) )
4738, 46impbid 191 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( A. p  e.  A  ( -.  p  .<_  W  -> 
( F `  p
)  =  p )  <-> 
F  =  (  _I  |`  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2799   class class class wbr 4401    _I cid 4740    |` cres 4951    Fn wfn 5522   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527   Basecbs 14293   lecple 14365   Atomscatm 33247   HLchlt 33334   LHypclh 33967   LAutclaut 33968   LTrncltrn 34084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-map 7327  df-poset 15236  df-plt 15248  df-lub 15264  df-glb 15265  df-join 15266  df-meet 15267  df-p0 15329  df-lat 15336  df-clat 15398  df-oposet 33160  df-ol 33162  df-oml 33163  df-covers 33250  df-ats 33251  df-atl 33282  df-cvlat 33306  df-hlat 33335  df-laut 33972  df-ldil 34087  df-ltrn 34088
This theorem is referenced by:  ltrnnid  34119
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