Theorem ltrnid 36256

Description: A lattice translation is the identity function iff all atoms not under the fiducial co-atom W are equal to their values. (Contributed by NM, 24-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrneq.b	|- B = ( Base ` K )
ltrneq.l	|- .<_ = ( le ` K )
ltrneq.a	|- A = ( Atoms ` K )
ltrneq.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrneq.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrnid	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) <-> F = ( _I |` B ) ) )

Distinct variable groups:   A, p   B, p   F, p   H, p   K, p   T, p   W, p

Allowed substitution hint:   .<_ ( p)

Proof of Theorem ltrnid

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp-4l 765	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> K e. HL )
2		ltrneq.h	. . . . . . . . 9 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2454	. . . . . . . . 9 |- ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
4		ltrneq.t	. . . . . . . . 9 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ltrnlaut 36244	. . . . . . . 8 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
6	5	ad2antrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> F e. ( LAut ` K ) )
7		simpr 459	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> x e. B )
8		simplll 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
9		simpllr 758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> F e. T )
10		ltrneq.b	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- B = ( Base ` K )
11		ltrneq.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- A = ( Atoms ` K )
12	10, 11	atbase 35411	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( p e. A -> p e. B )
13	12	ad2antlr 724	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> p e. B )
14		simpr 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> p .<_ W )
15		ltrneq.l	. . . . . . . . . . . . . 14 |- .<_ = ( le ` K )
16	10, 15, 2, 4	ltrnval1 36255	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T /\ ( p e. B /\ p .<_ W ) ) -> ( F ` p ) = p )
17	8, 9, 13, 14, 16	syl112anc 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) /\ p .<_ W ) -> ( F ` p ) = p )
18	17	ex 432	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) )
19		pm2.61 171	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( F ` p ) = p ) )
20	18, 19	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> ( F ` p ) = p ) )
21	20	ralimdva 2862	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p ) )
22	21	imp 427	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p )
23	22	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> A. p e. A ( F ` p ) = p )
24	10, 11, 3	lauteq 36216	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ F e. ( LAut ` K ) /\ x e. B ) /\ A. p e. A ( F ` p ) = p ) -> ( F ` x ) = x )
25	1, 6, 7, 23, 24	syl31anc 1229	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = x )
26		fvresi 6073	. . . . . . 7 |- ( x e. B -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
27	26	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( ( _I |` B ) ` x ) = x )
28	25, 27	eqtr4d 2498	. . . . 5 |- ( ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) /\ x e. B ) -> ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) )
29	28	ralrimiva 2868	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) )
30	10, 2, 4	ltrn1o 36245	. . . . . . 7 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F : B -1-1-onto-> B )
31	30	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )
32		f1ofn 5799	. . . . . 6 |- ( F : B -1-1-onto-> B -> F Fn B )
33	31, 32	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F Fn B )
34		fnresi 5680	. . . . 5 |- ( _I |` B ) Fn B
35		eqfnfv 5957	. . . . 5 |- ( ( F Fn B /\ ( _I |` B ) Fn B ) -> ( F = ( _I |` B ) <-> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) ) )
36	33, 34, 35	sylancl 660	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> ( F = ( _I |` B ) <-> A. x e. B ( F ` x ) = ( ( _I |` B ) ` x ) ) )
37	29, 36	mpbird 232	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) -> F = ( _I |` B ) )
38	37	ex 432	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) -> F = ( _I |` B ) ) )
39	12	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> p e. B )
40		fvresi 6073	. . . . . 6 |- ( p e. B -> ( ( _I |` B ) ` p ) = p )
41	39, 40	syl 16	. . . . 5 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( ( _I |` B ) ` p ) = p )
42		fveq1 5847	. . . . . 6 |- ( F = ( _I |` B ) -> ( F ` p ) = ( ( _I |` B ) ` p ) )
43	42	eqeq1d 2456	. . . . 5 |- ( F = ( _I |` B ) -> ( ( F ` p ) = p <-> ( ( _I |` B ) ` p ) = p ) )
44	41, 43	syl5ibrcom 222	. . . 4 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( F = ( _I |` B ) -> ( F ` p ) = p ) )
45	44	a1dd 46	. . 3 |- ( ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) /\ p e. A ) -> ( F = ( _I |` B ) -> ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) )
46	45	ralrimdva 2872	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( F = ( _I |` B ) -> A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) ) )
47	38, 46	impbid 191	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> ( A. p e. A ( -. p .<_ W -> ( F ` p ) = p ) <-> F = ( _I |` B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   A.wral 2804   class class class wbr 4439   _I cid 4779   |` cres 4990   Fn wfn 5565   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570   Basecbs 14716   lecple 14791   Atomscatm 35385   HLchlt 35472   LHypclh 36105   LAutclaut 36106   LTrncltrn 36222

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-map 7414  df-preset 15756  df-poset 15774  df-plt 15787  df-lub 15803  df-glb 15804  df-join 15805  df-meet 15806  df-p0 15868  df-lat 15875  df-clat 15937  df-oposet 35298  df-ol 35300  df-oml 35301  df-covers 35388  df-ats 35389  df-atl 35420  df-cvlat 35444  df-hlat 35473  df-laut 36110  df-ldil 36225  df-ltrn 36226

This theorem is referenced by:  ltrnnid  36257