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Theorem ltrnco 35515
Description: The composition of two translations is a translation. Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, line 15 on p. 117. (Contributed by NM, 31-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnco.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnco.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnco  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)

Proof of Theorem ltrnco
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 996 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 ltrnco.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
3 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( (
LDil `  K ) `  W )  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
4 ltrnco.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrnldil 34918 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
653adant3 1016 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
72, 3, 4ltrnldil 34918 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
873adant2 1015 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  G  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
92, 3ldilco 34912 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )  /\  G  e.  (
( LDil `  K ) `  W ) )  -> 
( F  o.  G
)  e.  ( (
LDil `  K ) `  W ) )
101, 6, 8, 9syl3anc 1228 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
11 simp11 1026 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
12 simp2l 1022 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
13 simp3l 1024 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  p
( le `  K
) W )
1412, 13jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p ( le
`  K ) W ) )
15 simp2r 1023 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
16 simp3r 1025 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  q
( le `  K
) W )
1715, 16jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( q  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  q ( le
`  K ) W ) )
18 simp12 1027 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F  e.  T )
19 simp13 1028 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  G  e.  T )
20 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
21 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
22 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
23 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
2420, 21, 22, 23, 2, 4cdlemg41 35514 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  p
( le `  K
) W )  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )  -> 
( ( p (
join `  K )
( ( F  o.  G ) `  p
) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  q ) ) (
meet `  K ) W ) )
2511, 14, 17, 18, 19, 24syl122anc 1237 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
p ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 q ) ) ( meet `  K
) W ) )
26253exp 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) )
2726ralrimivv 2884 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q
( le `  K
) W )  -> 
( ( p (
join `  K )
( ( F  o.  G ) `  p
) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  q ) ) (
meet `  K ) W ) ) )
2820, 21, 22, 23, 2, 3, 4isltrn 34915 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( ( F  o.  G )  e.  T  <->  ( ( F  o.  G
)  e.  ( (
LDil `  K ) `  W )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K )
( ( -.  p
( le `  K
) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( ( F  o.  G ) `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) ) )
29283ad2ant1 1017 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( ( F  o.  G )  e.  T  <->  ( ( F  o.  G )  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le
`  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  (
( p ( join `  K ) ( ( F  o.  G ) `
 p ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( ( F  o.  G ) `  q
) ) ( meet `  K ) W ) ) ) ) )
3010, 27, 29mpbir2and 920 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   class class class wbr 4447    o. ccom 5003   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   lecple 14558   joincjn 15427   meetcmee 15428   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LDilcldil 34896   LTrncltrn 34897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-riotaBAD 33756
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-undef 6999  df-map 7419  df-poset 15429  df-plt 15441  df-lub 15457  df-glb 15458  df-join 15459  df-meet 15460  df-p0 15522  df-p1 15523  df-lat 15529  df-clat 15591  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-atl 34095  df-cvlat 34119  df-hlat 34148  df-llines 34294  df-lplanes 34295  df-lvols 34296  df-lines 34297  df-psubsp 34299  df-pmap 34300  df-padd 34592  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901  df-trl 34955
This theorem is referenced by:  trlcocnv  35516  trlcoabs2N  35518  trlcoat  35519  trlconid  35521  trlcolem  35522  trlcone  35524  cdlemg44  35529  cdlemg46  35531  cdlemg47  35532  trljco  35536  tgrpgrplem  35545  tendoidcl  35565  tendococl  35568  tendoplcl2  35574  tendoplco2  35575  tendoplcl  35577  tendo0co2  35584  tendoicl  35592  cdlemh1  35611  cdlemh2  35612  cdlemh  35613  cdlemi2  35615  cdlemi  35616  cdlemk2  35628  cdlemk3  35629  cdlemk4  35630  cdlemk8  35634  cdlemk9  35635  cdlemk9bN  35636  cdlemkvcl  35638  cdlemk10  35639  cdlemk11  35645  cdlemk12  35646  cdlemk14  35650  cdlemk11u  35667  cdlemk12u  35668  cdlemk37  35710  cdlemkfid1N  35717  cdlemkid1  35718  cdlemk45  35743  cdlemk47  35745  cdlemk48  35746  cdlemk50  35748  cdlemk52  35750  cdlemk53a  35751  cdlemk54  35754  cdlemk55a  35755  cdlemk55u1  35761  cdlemk55u  35762  tendospcanN  35820  dvalveclem  35822  dialss  35843  dia2dimlem4  35864  dvhvaddcl  35892  diblss  35967  cdlemn3  35994  dihopelvalcpre  36045  dih1  36083  dihglbcpreN  36097  dihjatcclem3  36217  dihjatcclem4  36218
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