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Theorem ltrncnv 34817
Description: The converse of a lattice translation is a lattice translation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncnv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrncnv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )

Proof of Theorem ltrncnv
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrncnv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2460 . . . 4  |-  ( (
LDil `  K ) `  W )  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
3 ltrncnv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
41, 2, 3ltrnldil 34793 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
51, 2ldilcnv 34786 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)  ->  `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
64, 5syldan 470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
7 simp1 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T ) )
8 simp1l 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 simp1r 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F  e.  T )
10 simp2l 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
11 simp3l 1019 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  p
( le `  K
) W )
12 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 eqid 2460 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
1412, 13, 1, 3ltrncnvel 34813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le `  K
) W ) )
158, 9, 10, 11, 14syl112anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le `  K
) W ) )
16 simp2r 1018 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
17 simp3r 1020 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  q
( le `  K
) W )
1812, 13, 1, 3ltrncnvel 34813 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )
198, 9, 16, 17, 18syl112anc 1227 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )
20 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
21 eqid 2460 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
2212, 20, 21, 13, 1, 3ltrnu 34792 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
( `' F `  p )  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le
`  K ) W )  /\  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )  ->  ( ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K ) W ) )
237, 15, 19, 22syl3anc 1223 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  p ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K ) W ) )
24 eqid 2460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2524, 1, 3ltrn1o 34795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
26253ad2ant1 1012 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2724, 13atbase 33961 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
2810, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
29 f1ocnvfv2 6162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  p  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  p ) )  =  p )
3026, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( `' F `  p ) )  =  p )
3130oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) )  =  ( ( `' F `  p ) ( join `  K ) p ) )
32 simp1ll 1054 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  K  e.  HL )
3312, 13, 1, 3ltrncnvat 34812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( `' F `  p )  e.  (
Atoms `  K ) )
348, 9, 10, 33syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K )
)
3520, 13hlatjcom 34039 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) p )  =  ( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) )
3632, 34, 10, 35syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) p )  =  ( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) )
3731, 36eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) )  =  ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) )
3837oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  p ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( p (
join `  K )
( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W ) )
3924, 13atbase 33961 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
4016, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
41 f1ocnvfv2 6162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  q ) )  =  q )
4226, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( `' F `  q ) )  =  q )
4342oveq2d 6291 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) )  =  ( ( `' F `  q ) ( join `  K ) q ) )
4412, 13, 1, 3ltrncnvat 34812 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( `' F `  q )  e.  (
Atoms `  K ) )
458, 9, 16, 44syl3anc 1223 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K )
)
4620, 13hlatjcom 34039 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) q )  =  ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) )
4732, 45, 16, 46syl3anc 1223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) q )  =  ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) )
4843, 47eqtrd 2501 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) )  =  ( q ( join `  K
) ( `' F `  q ) ) )
4948oveq1d 6290 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  q ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( `' F `  q ) ) (
meet `  K ) W ) )
5023, 38, 493eqtr3d 2509 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) )
51503exp 1190 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) )
5251ralrimivv 2877 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q
( le `  K
) W )  -> 
( ( p (
join `  K )
( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) )
5312, 20, 21, 13, 1, 2, 3isltrn 34790 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( `' F  e.  T  <->  ( `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le
`  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  (
( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( `' F `  q ) ) (
meet `  K ) W ) ) ) ) )
5453adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' F  e.  T  <->  ( `' F  e.  ( ( LDil `  K ) `  W )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K )
( ( -.  p
( le `  K
) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) ) )
556, 52, 54mpbir2and 915 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   A.wral 2807   class class class wbr 4440   `'ccnv 4991   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   Basecbs 14479   lecple 14551   joincjn 15420   meetcmee 15421   Atomscatm 33935   HLchlt 34022   LHypclh 34655   LDilcldil 34771   LTrncltrn 34772
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-map 7412  df-poset 15422  df-plt 15434  df-lub 15450  df-glb 15451  df-join 15452  df-p0 15515  df-lat 15522  df-oposet 33848  df-ol 33850  df-oml 33851  df-covers 33938  df-ats 33939  df-atl 33970  df-cvlat 33994  df-hlat 34023  df-lhyp 34659  df-laut 34660  df-ldil 34775  df-ltrn 34776
This theorem is referenced by:  trlcnv  34836  trlcocnv  35391  trlcoabs2N  35393  trlcoat  35394  trlcocnvat  35395  trlcone  35399  cdlemg46  35406  tgrpgrplem  35420  tendoicl  35467  cdlemh1  35486  cdlemh2  35487  cdlemh  35488  cdlemi2  35490  cdlemi  35491  cdlemk2  35503  cdlemk3  35504  cdlemk4  35505  cdlemk8  35509  cdlemk9  35510  cdlemk9bN  35511  cdlemkvcl  35513  cdlemk10  35514  cdlemk11  35520  cdlemk12  35521  cdlemk14  35525  cdlemk11u  35542  cdlemk12u  35543  cdlemk37  35585  cdlemkfid1N  35592  cdlemkid1  35593  cdlemkid2  35595  tendocnv  35693  tendospcanN  35695  dvhgrp  35779  cdlemn8  35876  dihopelvalcpre  35920  dih1  35958  dihglbcpreN  35972  dihjatcclem3  36092  dihjatcclem4  36093
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