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Theorem ltrncnv 33790
Description: The converse of a lattice translation is a lattice translation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncnv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrncnv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )

Proof of Theorem ltrncnv
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrncnv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2443 . . . 4  |-  ( (
LDil `  K ) `  W )  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
3 ltrncnv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
41, 2, 3ltrnldil 33766 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
51, 2ldilcnv 33759 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)  ->  `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
64, 5syldan 470 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
7 simp1 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T ) )
8 simp1l 1012 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 simp1r 1013 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F  e.  T )
10 simp2l 1014 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
11 simp3l 1016 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  p
( le `  K
) W )
12 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
1412, 13, 1, 3ltrncnvel 33786 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le `  K
) W ) )
158, 9, 10, 11, 14syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le `  K
) W ) )
16 simp2r 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
17 simp3r 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  q
( le `  K
) W )
1812, 13, 1, 3ltrncnvel 33786 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )
198, 9, 16, 17, 18syl112anc 1222 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )
20 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
21 eqid 2443 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
2212, 20, 21, 13, 1, 3ltrnu 33765 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
( `' F `  p )  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le
`  K ) W )  /\  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )  ->  ( ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K ) W ) )
237, 15, 19, 22syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  p ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K ) W ) )
24 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2524, 1, 3ltrn1o 33768 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
26253ad2ant1 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2724, 13atbase 32934 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
2810, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
29 f1ocnvfv2 5984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  p  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  p ) )  =  p )
3026, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( `' F `  p ) )  =  p )
3130oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) )  =  ( ( `' F `  p ) ( join `  K ) p ) )
32 simp1ll 1051 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  K  e.  HL )
3312, 13, 1, 3ltrncnvat 33785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( `' F `  p )  e.  (
Atoms `  K ) )
348, 9, 10, 33syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K )
)
3520, 13hlatjcom 33012 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) p )  =  ( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) )
3632, 34, 10, 35syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) p )  =  ( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) )
3731, 36eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) )  =  ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) )
3837oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  p ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( p (
join `  K )
( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W ) )
3924, 13atbase 32934 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
4016, 39syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
41 f1ocnvfv2 5984 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  q ) )  =  q )
4226, 40, 41syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( `' F `  q ) )  =  q )
4342oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) )  =  ( ( `' F `  q ) ( join `  K ) q ) )
4412, 13, 1, 3ltrncnvat 33785 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( `' F `  q )  e.  (
Atoms `  K ) )
458, 9, 16, 44syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K )
)
4620, 13hlatjcom 33012 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) q )  =  ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) )
4732, 45, 16, 46syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) q )  =  ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) )
4843, 47eqtrd 2475 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) )  =  ( q ( join `  K
) ( `' F `  q ) ) )
4948oveq1d 6106 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  q ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( `' F `  q ) ) (
meet `  K ) W ) )
5023, 38, 493eqtr3d 2483 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) )
51503exp 1186 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) )
5251ralrimivv 2807 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q
( le `  K
) W )  -> 
( ( p (
join `  K )
( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) )
5312, 20, 21, 13, 1, 2, 3isltrn 33763 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( `' F  e.  T  <->  ( `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le
`  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  (
( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( `' F `  q ) ) (
meet `  K ) W ) ) ) ) )
5453adantr 465 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' F  e.  T  <->  ( `' F  e.  ( ( LDil `  K ) `  W )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K )
( ( -.  p
( le `  K
) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) ) )
556, 52, 54mpbir2and 913 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   class class class wbr 4292   `'ccnv 4839   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   Basecbs 14174   lecple 14245   joincjn 15114   meetcmee 15115   Atomscatm 32908   HLchlt 32995   LHypclh 33628   LDilcldil 33744   LTrncltrn 33745
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-map 7216  df-poset 15116  df-plt 15128  df-lub 15144  df-glb 15145  df-join 15146  df-p0 15209  df-lat 15216  df-oposet 32821  df-ol 32823  df-oml 32824  df-covers 32911  df-ats 32912  df-atl 32943  df-cvlat 32967  df-hlat 32996  df-lhyp 33632  df-laut 33633  df-ldil 33748  df-ltrn 33749
This theorem is referenced by:  trlcnv  33809  trlcocnv  34364  trlcoabs2N  34366  trlcoat  34367  trlcocnvat  34368  trlcone  34372  cdlemg46  34379  tgrpgrplem  34393  tendoicl  34440  cdlemh1  34459  cdlemh2  34460  cdlemh  34461  cdlemi2  34463  cdlemi  34464  cdlemk2  34476  cdlemk3  34477  cdlemk4  34478  cdlemk8  34482  cdlemk9  34483  cdlemk9bN  34484  cdlemkvcl  34486  cdlemk10  34487  cdlemk11  34493  cdlemk12  34494  cdlemk14  34498  cdlemk11u  34515  cdlemk12u  34516  cdlemk37  34558  cdlemkfid1N  34565  cdlemkid1  34566  cdlemkid2  34568  tendocnv  34666  tendospcanN  34668  dvhgrp  34752  cdlemn8  34849  dihopelvalcpre  34893  dih1  34931  dihglbcpreN  34945  dihjatcclem3  35065  dihjatcclem4  35066
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