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Theorem ltrncnv 33782
Description: The converse of a lattice translation is a lattice translation. (Contributed by NM, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrncnv.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrncnv.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrncnv  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )

Proof of Theorem ltrncnv
Dummy variables  q  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrncnv.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
2 eqid 2471 . . . 4  |-  ( (
LDil `  K ) `  W )  =  ( ( LDil `  K
) `  W )
3 ltrncnv.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
41, 2, 3ltrnldil 33758 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
51, 2ldilcnv 33751 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)  ->  `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
64, 5syldan 478 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )
)
7 simp1 1030 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T ) )
8 simp1l 1054 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
9 simp1r 1055 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F  e.  T )
10 simp2l 1056 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Atoms `  K )
)
11 simp3l 1058 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  p
( le `  K
) W )
12 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
13 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
1412, 13, 1, 3ltrncnvel 33778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le `  K
) W ) )
158, 9, 10, 11, 14syl112anc 1296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le `  K
) W ) )
16 simp2r 1057 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Atoms `  K )
)
17 simp3r 1059 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  -.  q
( le `  K
) W )
1812, 13, 1, 3ltrncnvel 33778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( q  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )
198, 9, 16, 17, 18syl112anc 1296 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )
20 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
21 eqid 2471 . . . . . . 7  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
2212, 20, 21, 13, 1, 3ltrnu 33757 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
( `' F `  p )  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  ( `' F `  p ) ( le
`  K ) W )  /\  ( ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  ( `' F `  q ) ( le `  K
) W ) )  ->  ( ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K ) W )  =  ( ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K ) W ) )
237, 15, 19, 22syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  p ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K ) W ) )
24 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
2524, 1, 3ltrn1o 33760 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
26253ad2ant1 1051 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
2724, 13atbase 32926 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
2810, 27syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  p  e.  ( Base `  K )
)
29 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  p  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  p ) )  =  p )
3026, 28, 29syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( `' F `  p ) )  =  p )
3130oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) )  =  ( ( `' F `  p ) ( join `  K ) p ) )
32 simp1ll 1093 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  K  e.  HL )
3312, 13, 1, 3ltrncnvat 33777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  p  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( `' F `  p )  e.  (
Atoms `  K ) )
348, 9, 10, 33syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K )
)
3520, 13hlatjcom 33004 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  p )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) p )  =  ( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) )
3632, 34, 10, 35syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) p )  =  ( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) )
3731, 36eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  p ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  p ) ) )  =  ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) )
3837oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  p ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  p ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( p (
join `  K )
( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W ) )
3924, 13atbase 32926 . . . . . . . . . 10  |-  ( q  e.  ( Atoms `  K
)  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
4016, 39syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  q  e.  ( Base `  K )
)
41 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : ( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K
)  /\  q  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( F `  ( `' F `  q ) )  =  q )
4226, 40, 41syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( `' F `  q ) )  =  q )
4342oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) )  =  ( ( `' F `  q ) ( join `  K ) q ) )
4412, 13, 1, 3ltrncnvat 33777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  q  e.  ( Atoms `  K ) )  ->  ( `' F `  q )  e.  (
Atoms `  K ) )
458, 9, 16, 44syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K )
)
4620, 13hlatjcom 33004 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( `' F `  q )  e.  ( Atoms `  K
)  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) q )  =  ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) )
4732, 45, 16, 46syl3anc 1292 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) q )  =  ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) )
4843, 47eqtrd 2505 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( ( `' F `  q ) ( join `  K
) ( F `  ( `' F `  q ) ) )  =  ( q ( join `  K
) ( `' F `  q ) ) )
4948oveq1d 6323 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
( `' F `  q ) ( join `  K ) ( F `
 ( `' F `  q ) ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( `' F `  q ) ) (
meet `  K ) W ) )
5023, 38, 493eqtr3d 2513 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  /\  ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W ) )  ->  ( (
p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) )
51503exp 1230 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  q  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) )
5251ralrimivv 2813 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le `  K ) W  /\  -.  q
( le `  K
) W )  -> 
( ( p (
join `  K )
( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) )
5312, 20, 21, 13, 1, 2, 3isltrn 33755 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( `' F  e.  T  <->  ( `' F  e.  ( ( LDil `  K
) `  W )  /\  A. p  e.  (
Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K ) ( ( -.  p ( le
`  K ) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  (
( p ( join `  K ) ( `' F `  p ) ) ( meet `  K
) W )  =  ( ( q (
join `  K )
( `' F `  q ) ) (
meet `  K ) W ) ) ) ) )
5453adantr 472 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( `' F  e.  T  <->  ( `' F  e.  ( ( LDil `  K ) `  W )  /\  A. p  e.  ( Atoms `  K ) A. q  e.  ( Atoms `  K )
( ( -.  p
( le `  K
) W  /\  -.  q ( le `  K ) W )  ->  ( ( p ( join `  K
) ( `' F `  p ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( q ( join `  K ) ( `' F `  q ) ) ( meet `  K
) W ) ) ) ) )
556, 52, 54mpbir2and 936 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   class class class wbr 4395   `'ccnv 4838   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   Basecbs 15199   lecple 15275   joincjn 16267   meetcmee 16268   Atomscatm 32900   HLchlt 32987   LHypclh 33620   LDilcldil 33736   LTrncltrn 33737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-preset 16251  df-poset 16269  df-plt 16282  df-lub 16298  df-glb 16299  df-join 16300  df-p0 16363  df-lat 16370  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-atl 32935  df-cvlat 32959  df-hlat 32988  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741
This theorem is referenced by:  trlcnv  33802  trlcocnv  34358  trlcoabs2N  34360  trlcoat  34361  trlcocnvat  34362  trlcone  34366  cdlemg46  34373  tgrpgrplem  34387  tendoicl  34434  cdlemh1  34453  cdlemh2  34454  cdlemh  34455  cdlemi2  34457  cdlemi  34458  cdlemk2  34470  cdlemk3  34471  cdlemk4  34472  cdlemk8  34476  cdlemk9  34477  cdlemk9bN  34478  cdlemkvcl  34480  cdlemk10  34481  cdlemk11  34487  cdlemk12  34488  cdlemk14  34492  cdlemk11u  34509  cdlemk12u  34510  cdlemk37  34552  cdlemkfid1N  34559  cdlemkid1  34560  cdlemkid2  34562  tendocnv  34660  tendospcanN  34662  dvhgrp  34746  cdlemn8  34843  dihopelvalcpre  34887  dih1  34925  dihglbcpreN  34939  dihjatcclem3  35059  dihjatcclem4  35060
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