Theorem ltrncl 33609

Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	|- B = ( Base ` K )
ltrn1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrn1o.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrncl	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )

Proof of Theorem ltrncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1012	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> K e. V )
2		ltrn1o.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2438	. . . 4 |- ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
4		ltrn1o.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ltrnlaut 33607	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
6	5	3adant3 1008	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> F e. ( LAut ` K ) )
7		simp3 990	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> X e. B )
8		ltrn1o.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
9	8, 3	lautcl 33571	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ F e. ( LAut ` K ) ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )
10	1, 6, 7, 9	syl21anc 1217	1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   ` cfv 5413   Basecbs 14166   LHypclh 33468   LAutclaut 33469   LTrncltrn 33585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-map 7208  df-laut 33473  df-ldil 33588  df-ltrn 33589

This theorem is referenced by:  ltrnatb  33621  ltrneq2  33632  trlval2  33647  trlcl  33648  trljat1  33650  trljat2  33651  trlle  33668  cdlemc4  33678  cdlemc5  33679  cdlemd7  33688  cdlemg4c  34096  cdlemg7N  34110  cdlemg8b  34112  cdlemg11b  34126  trlcolem  34210  cdlemg44a  34215  cdlemi1  34302  cdlemi  34304  cdlemkvcl  34326  cdlemkid1  34406  cdlemm10N  34603  dih1dimatlem  34814