Theorem ltrncl 33155

Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	|- B = ( Base ` K )
ltrn1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrn1o.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrncl	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )

Proof of Theorem ltrncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1023	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> K e. V )
2		ltrn1o.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2404	. . . 4 |- ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
4		ltrn1o.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ltrnlaut 33153	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
6	5	3adant3 1019	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> F e. ( LAut ` K ) )
7		simp3 1001	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> X e. B )
8		ltrn1o.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
9	8, 3	lautcl 33117	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ F e. ( LAut ` K ) ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )
10	1, 6, 7, 9	syl21anc 1231	1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 976   = wceq 1407   e. wcel 1844   ` cfv 5571   Basecbs 14843   LHypclh 33014   LAutclaut 33015   LTrncltrn 33131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576

This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-laut 33019  df-ldil 33134  df-ltrn 33135

This theorem is referenced by:  ltrnatb  33167  ltrneq2  33178  trlval2  33194  trlcl  33195  trljat1  33197  trljat2  33198  trlle  33215  cdlemc4  33225  cdlemc5  33226  cdlemd7  33235  cdlemg4c  33644  cdlemg7N  33658  cdlemg8b  33660  cdlemg11b  33674  trlcolem  33758  cdlemg44a  33763  cdlemi1  33850  cdlemi  33852  cdlemkvcl  33874  cdlemkid1  33954  cdlemm10N  34151  dih1dimatlem  34362