Theorem ltrncl 33615

Description: Closure of a lattice translation. (Contributed by NM, 20-May-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrn1o.b	|- B = ( Base ` K )
ltrn1o.h	|- H = ( LHyp ` K )
ltrn1o.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )

Assertion

Ref	Expression
ltrncl	|- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )

Proof of Theorem ltrncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1l 1030	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> K e. V )
2		ltrn1o.h	. . . 4 |- H = ( LHyp ` K )
3		eqid 2423	. . . 4 |- ( LAut ` K ) = ( LAut ` K )
4		ltrn1o.t	. . . 4 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
5	2, 3, 4	ltrnlaut 33613	. . 3 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T ) -> F e. ( LAut ` K ) )
6	5	3adant3 1026	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> F e. ( LAut ` K ) )
7		simp3 1008	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> X e. B )
8		ltrn1o.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
9	8, 3	lautcl 33577	. 2 |- ( ( ( K e. V /\ F e. ( LAut ` K ) ) /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )
10	1, 6, 7, 9	syl21anc 1264	1 |- ( ( ( K e. V /\ W e. H ) /\ F e. T /\ X e. B ) -> ( F ` X ) e. B )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 983   = wceq 1438   e. wcel 1869   ` cfv 5599   Basecbs 15114   LHypclh 33474   LAutclaut 33475   LTrncltrn 33591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-map 7480  df-laut 33479  df-ldil 33594  df-ltrn 33595

This theorem is referenced by:  ltrnatb  33627  ltrneq2  33638  trlval2  33654  trlcl  33655  trljat1  33657  trljat2  33658  trlle  33675  cdlemc4  33685  cdlemc5  33686  cdlemd7  33695  cdlemg4c  34104  cdlemg7N  34118  cdlemg8b  34120  cdlemg11b  34134  trlcolem  34218  cdlemg44a  34223  cdlemi1  34310  cdlemi  34312  cdlemkvcl  34334  cdlemkid1  34414  cdlemm10N  34611  dih1dimatlem  34822