Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnatb Structured version   Unicode version

Theorem ltrnatb 33455
Description: The lattice translation of an atom is an atom. (Contributed by NM, 20-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnatb.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
ltrnatb.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnatb.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnatb.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnatb  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )

Proof of Theorem ltrnatb
StepHypRef Expression
1 simp3 1007 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  P  e.  B )
2 ltrnatb.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 ltrnatb.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
4 ltrnatb.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
52, 3, 4ltrncl 33443 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( F `  P )  e.  B
)
61, 52thd 243 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( P  e.  B  <->  ( F `  P )  e.  B
) )
7 simp1 1005 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
8 simp2 1006 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  F  e.  T )
9 simp1l 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  K  e.  HL )
10 hlop 32681 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OP )
11 eqid 2420 . . . . . . 7  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
122, 11op0cl 32503 . . . . . 6  |-  ( K  e.  OP  ->  ( 0. `  K )  e.  B )
139, 10, 123syl 18 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( 0. `  K )  e.  B
)
14 eqid 2420 . . . . . 6  |-  (  <o  `  K )  =  ( 
<o  `  K )
152, 14, 3, 4ltrncvr 33451 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( 0. `  K )  e.  B  /\  P  e.  B
) )  ->  (
( 0. `  K
) (  <o  `  K
) P  <->  ( F `  ( 0. `  K
) ) (  <o  `  K ) ( F `
 P ) ) )
167, 8, 13, 1, 15syl112anc 1268 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P  <-> 
( F `  ( 0. `  K ) ) (  <o  `  K )
( F `  P
) ) )
179, 10syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  K  e.  OP )
18 simp1r 1030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  W  e.  H )
192, 3lhpbase 33316 . . . . . . . 8  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2018, 19syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  W  e.  B )
21 eqid 2420 . . . . . . . 8  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
222, 21, 11op0le 32505 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  OP  /\  W  e.  B )  ->  ( 0. `  K
) ( le `  K ) W )
2317, 20, 22syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( 0. `  K ) ( le
`  K ) W )
242, 21, 3, 4ltrnval1 33452 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( ( 0. `  K )  e.  B  /\  ( 0. `  K
) ( le `  K ) W ) )  ->  ( F `  ( 0. `  K
) )  =  ( 0. `  K ) )
257, 8, 13, 23, 24syl112anc 1268 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( F `  ( 0. `  K
) )  =  ( 0. `  K ) )
2625breq1d 4427 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( F `  ( 0. `  K ) ) ( 
<o  `  K ) ( F `  P )  <-> 
( 0. `  K
) (  <o  `  K
) ( F `  P ) ) )
2716, 26bitrd 256 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P  <-> 
( 0. `  K
) (  <o  `  K
) ( F `  P ) ) )
286, 27anbi12d 715 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( P  e.  B  /\  ( 0. `  K ) (  <o  `  K ) P )  <->  ( ( F `  P )  e.  B  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) ( F `  P ) ) ) )
29 ltrnatb.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
302, 11, 14, 29isat 32605 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  ( P  e.  A  <->  ( P  e.  B  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) P ) ) )
319, 30syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( P  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) ( 
<o  `  K ) P ) ) )
322, 11, 14, 29isat 32605 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( F `  P
)  e.  A  <->  ( ( F `  P )  e.  B  /\  ( 0. `  K ) ( 
<o  `  K ) ( F `  P ) ) ) )
339, 32syl 17 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( F `  P )  e.  A  <->  ( ( F `
 P )  e.  B  /\  ( 0.
`  K ) ( 
<o  `  K ) ( F `  P ) ) ) )
3428, 31, 333bitr4d 288 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1867   class class class wbr 4417   ` cfv 5592   Basecbs 15081   lecple 15157   0.cp0 16235   OPcops 32491    <o ccvr 32581   Atomscatm 32582   HLchlt 32669   LHypclh 33302   LTrncltrn 33419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-iun 4295  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-map 7473  df-plt 16156  df-glb 16173  df-p0 16237  df-oposet 32495  df-ol 32497  df-oml 32498  df-covers 32585  df-ats 32586  df-hlat 32670  df-lhyp 33306  df-laut 33307  df-ldil 33422  df-ltrn 33423
This theorem is referenced by:  ltrncnvatb  33456  ltrnel  33457  ltrnat  33458
  Copyright terms: Public domain W3C validator