Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Structured version   Unicode version

Theorem ltrnat 33630
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 33629 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 1008 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2423 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 32780 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 33627 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1300 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 214 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    /\ w3a 983    = wceq 1438    e. wcel 1869   ` cfv 5599   Basecbs 15114   lecple 15190   Atomscatm 32754   HLchlt 32841   LHypclh 33474   LTrncltrn 33591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-map 7480  df-plt 16197  df-glb 16214  df-p0 16278  df-oposet 32667  df-ol 32669  df-oml 32670  df-covers 32757  df-ats 32758  df-hlat 32842  df-lhyp 33478  df-laut 33479  df-ldil 33594  df-ltrn 33595
This theorem is referenced by:  ltrncoat  33634  trlcnv  33656  trljat2  33658  trlat  33660  trlval3  33678  trlval4  33679  cdlemc3  33684  cdlemc5  33686  cdlemg2kq  34094  cdlemg9a  34124  cdlemg9  34126  cdlemg10bALTN  34128  cdlemg10c  34131  cdlemg10a  34132  cdlemg10  34133  cdlemg12a  34135  cdlemg12c  34137  cdlemg13a  34143  cdlemg17a  34153  cdlemg17g  34159  cdlemg18a  34170  cdlemg18b  34171  cdlemg18c  34172  trlcoabs2N  34214  trlcolem  34218  cdlemg42  34221  cdlemi  34312  cdlemk3  34325  cdlemk4  34326  cdlemk6  34329  cdlemk9  34331  cdlemk9bN  34332  cdlemk10  34335  cdlemksat  34338  cdlemk7  34340  cdlemk12  34342  cdlemkole  34345  cdlemk14  34346  cdlemk15  34347  cdlemk17  34350  cdlemk5u  34353  cdlemk6u  34354  cdlemkuat  34358  cdlemk7u  34362  cdlemk12u  34364  cdlemk37  34406  cdlemk39  34408  cdlemkfid1N  34413  cdlemk47  34441  cdlemk48  34442  cdlemk50  34444  cdlemk51  34445  cdlemk52  34446  cdlemm10N  34611
  Copyright terms: Public domain W3C validator