Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltrnat 33776
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 33775 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 1032 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2471 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 32926 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 33773 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1327 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 215 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    /\ w3a 1007    = wceq 1452    e. wcel 1904   ` cfv 5589   Basecbs 15199   lecple 15275   Atomscatm 32900   HLchlt 32987   LHypclh 33620   LTrncltrn 33737
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-op 3966  df-uni 4191  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-id 4754  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-map 7492  df-plt 16282  df-glb 16299  df-p0 16363  df-oposet 32813  df-ol 32815  df-oml 32816  df-covers 32903  df-ats 32904  df-hlat 32988  df-lhyp 33624  df-laut 33625  df-ldil 33740  df-ltrn 33741
This theorem is referenced by:  ltrncoat  33780  trlcnv  33802  trljat2  33804  trlat  33806  trlval3  33824  trlval4  33825  cdlemc3  33830  cdlemc5  33832  cdlemg2kq  34240  cdlemg9a  34270  cdlemg9  34272  cdlemg10bALTN  34274  cdlemg10c  34277  cdlemg10a  34278  cdlemg10  34279  cdlemg12a  34281  cdlemg12c  34283  cdlemg13a  34289  cdlemg17a  34299  cdlemg17g  34305  cdlemg18a  34316  cdlemg18b  34317  cdlemg18c  34318  trlcoabs2N  34360  trlcolem  34364  cdlemg42  34367  cdlemi  34458  cdlemk3  34471  cdlemk4  34472  cdlemk6  34475  cdlemk9  34477  cdlemk9bN  34478  cdlemk10  34481  cdlemksat  34484  cdlemk7  34486  cdlemk12  34488  cdlemkole  34491  cdlemk14  34492  cdlemk15  34493  cdlemk17  34496  cdlemk5u  34499  cdlemk6u  34500  cdlemkuat  34504  cdlemk7u  34508  cdlemk12u  34510  cdlemk37  34552  cdlemk39  34554  cdlemkfid1N  34559  cdlemk47  34587  cdlemk48  34588  cdlemk50  34590  cdlemk51  34591  cdlemk52  34592  cdlemm10N  34757
  Copyright terms: Public domain W3C validator