Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Structured version   Unicode version

Theorem ltrnat 34090
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 34089 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 990 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2451 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 33240 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 34087 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1254 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 210 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   ` cfv 5516   Basecbs 14276   lecple 14347   Atomscatm 33214   HLchlt 33301   LHypclh 33934   LTrncltrn 34051
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-map 7316  df-plt 15230  df-glb 15247  df-p0 15311  df-oposet 33127  df-ol 33129  df-oml 33130  df-covers 33217  df-ats 33218  df-hlat 33302  df-lhyp 33938  df-laut 33939  df-ldil 34054  df-ltrn 34055
This theorem is referenced by:  ltrncoat  34094  trlcnv  34115  trljat2  34117  trlat  34119  trlval3  34137  trlval4  34138  cdlemc3  34143  cdlemc5  34145  cdlemg2kq  34552  cdlemg9a  34582  cdlemg9  34584  cdlemg10bALTN  34586  cdlemg10c  34589  cdlemg10a  34590  cdlemg10  34591  cdlemg12a  34593  cdlemg12c  34595  cdlemg13a  34601  cdlemg17a  34611  cdlemg17g  34617  cdlemg18a  34628  cdlemg18b  34629  cdlemg18c  34630  trlcoabs2N  34672  trlcolem  34676  cdlemg42  34679  cdlemi  34770  cdlemk3  34783  cdlemk4  34784  cdlemk6  34787  cdlemk9  34789  cdlemk9bN  34790  cdlemk10  34793  cdlemksat  34796  cdlemk7  34798  cdlemk12  34800  cdlemkole  34803  cdlemk14  34804  cdlemk15  34805  cdlemk17  34808  cdlemk5u  34811  cdlemk6u  34812  cdlemkuat  34816  cdlemk7u  34820  cdlemk12u  34822  cdlemk37  34864  cdlemk39  34866  cdlemkfid1N  34871  cdlemk47  34899  cdlemk48  34900  cdlemk50  34902  cdlemk51  34903  cdlemk52  34904  cdlemm10N  35069
  Copyright terms: Public domain W3C validator