Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Structured version   Unicode version

Theorem ltrnat 34936
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 34935 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 998 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 34086 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 34933 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1263 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 210 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   ` cfv 5586   Basecbs 14486   lecple 14558   Atomscatm 34060   HLchlt 34147   LHypclh 34780   LTrncltrn 34897
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-map 7419  df-plt 15441  df-glb 15458  df-p0 15522  df-oposet 33973  df-ol 33975  df-oml 33976  df-covers 34063  df-ats 34064  df-hlat 34148  df-lhyp 34784  df-laut 34785  df-ldil 34900  df-ltrn 34901
This theorem is referenced by:  ltrncoat  34940  trlcnv  34961  trljat2  34963  trlat  34965  trlval3  34983  trlval4  34984  cdlemc3  34989  cdlemc5  34991  cdlemg2kq  35398  cdlemg9a  35428  cdlemg9  35430  cdlemg10bALTN  35432  cdlemg10c  35435  cdlemg10a  35436  cdlemg10  35437  cdlemg12a  35439  cdlemg12c  35441  cdlemg13a  35447  cdlemg17a  35457  cdlemg17g  35463  cdlemg18a  35474  cdlemg18b  35475  cdlemg18c  35476  trlcoabs2N  35518  trlcolem  35522  cdlemg42  35525  cdlemi  35616  cdlemk3  35629  cdlemk4  35630  cdlemk6  35633  cdlemk9  35635  cdlemk9bN  35636  cdlemk10  35639  cdlemksat  35642  cdlemk7  35644  cdlemk12  35646  cdlemkole  35649  cdlemk14  35650  cdlemk15  35651  cdlemk17  35654  cdlemk5u  35657  cdlemk6u  35658  cdlemkuat  35662  cdlemk7u  35666  cdlemk12u  35668  cdlemk37  35710  cdlemk39  35712  cdlemkfid1N  35717  cdlemk47  35745  cdlemk48  35746  cdlemk50  35748  cdlemk51  35749  cdlemk52  35750  cdlemm10N  35915
  Copyright terms: Public domain W3C validator