Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrnat Structured version   Unicode version

Theorem ltrnat 33170
Description: The lattice translation of an atom is also an atom. TODO: See if this can shorten some ltrnel 33169 uses. (Contributed by NM, 25-May-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
ltrnel.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
ltrnel.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
ltrnel.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
ltrnel.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
ltrnat  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)

Proof of Theorem ltrnat
StepHypRef Expression
1 simp3 1001 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  P  e.  A )
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
3 ltrnel.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 32320 . . 3  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
5 ltrnel.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 ltrnel.t . . . 4  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
72, 3, 5, 6ltrnatb 33167 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
84, 7syl3an3 1267 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( P  e.  A  <->  ( F `  P )  e.  A
) )
91, 8mpbid 212 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    /\ wa 369    /\ w3a 976    = wceq 1407    e. wcel 1844   ` cfv 5571   Basecbs 14843   lecple 14918   Atomscatm 32294   HLchlt 32381   LHypclh 33014   LTrncltrn 33131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-rep 4509  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-op 3981  df-uni 4194  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-id 4740  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-map 7461  df-plt 15914  df-glb 15931  df-p0 15995  df-oposet 32207  df-ol 32209  df-oml 32210  df-covers 32297  df-ats 32298  df-hlat 32382  df-lhyp 33018  df-laut 33019  df-ldil 33134  df-ltrn 33135
This theorem is referenced by:  ltrncoat  33174  trlcnv  33196  trljat2  33198  trlat  33200  trlval3  33218  trlval4  33219  cdlemc3  33224  cdlemc5  33226  cdlemg2kq  33634  cdlemg9a  33664  cdlemg9  33666  cdlemg10bALTN  33668  cdlemg10c  33671  cdlemg10a  33672  cdlemg10  33673  cdlemg12a  33675  cdlemg12c  33677  cdlemg13a  33683  cdlemg17a  33693  cdlemg17g  33699  cdlemg18a  33710  cdlemg18b  33711  cdlemg18c  33712  trlcoabs2N  33754  trlcolem  33758  cdlemg42  33761  cdlemi  33852  cdlemk3  33865  cdlemk4  33866  cdlemk6  33869  cdlemk9  33871  cdlemk9bN  33872  cdlemk10  33875  cdlemksat  33878  cdlemk7  33880  cdlemk12  33882  cdlemkole  33885  cdlemk14  33886  cdlemk15  33887  cdlemk17  33890  cdlemk5u  33893  cdlemk6u  33894  cdlemkuat  33898  cdlemk7u  33902  cdlemk12u  33904  cdlemk37  33946  cdlemk39  33948  cdlemkfid1N  33953  cdlemk47  33981  cdlemk48  33982  cdlemk50  33984  cdlemk51  33985  cdlemk52  33986  cdlemm10N  34151
  Copyright terms: Public domain W3C validator