Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrmynn0 Structured version   Unicode version

Theorem ltrmynn0 29434
Description: The Y-sequence is strictly monotonic on  NN0. Strengthened by ltrmy 29438. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltrmynn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  N  <->  ( A Yrm  M
)  <  ( A Yrm  N
) ) )

Proof of Theorem ltrmynn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 10775 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
2 frmy 29398 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
32fovcl 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
41, 3sylan2 474 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
54zred 10853 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
6 eluzelre 10977 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
85, 7remulcld 9520 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  RR )
9 frmx 29397 . . . . . . . . 9  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
109fovcl 6300 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
111, 10sylan2 474 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
1211nn0red 10743 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  e.  RR )
138, 12readdcld 9519 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) )  e.  RR )
14 rmxypos 29433 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )
1514simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
16 2nn 10585 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
17 uznnssnn 11008 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
1918sseli 3455 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
2019nnge1d 10470 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  A )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  1  <_  A )
225, 7, 15, 21lemulge11d 10376 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  <_  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )
2314simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <  ( A Xrm  b ) )
2412, 8ltaddposd 10029 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  <->  ( ( A Yrm  b )  x.  A )  <  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A
)  +  ( A Xrm  b ) ) ) )
2523, 24mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  b )  x.  A )  <  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
265, 8, 13, 22, 25lelttrd 9635 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  <  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
27 rmyp1 29417 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
281, 27sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
2926, 28breqtrrd 4421 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
30 nn0z 10775 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ZZ )
312fovcl 6300 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  a )  e.  ZZ )
3230, 31sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  a )  e.  ZZ )
3332zred 10853 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  a )  e.  RR )
34 nn0uz 11001 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
35 oveq2 6203 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
36 oveq2 6203 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
37 oveq2 6203 . . 3  |-  ( a  =  M  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  M ) )
38 oveq2 6203 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
3929, 33, 34, 35, 36, 37, 38monotuz 29425 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  <  N  <->  ( A Yrm  M )  <  ( A Yrm 
N ) ) )
40393impb 1184 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  N  <->  ( A Yrm  M
)  <  ( A Yrm  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    C_ wss 3431   class class class wbr 4395   ` cfv 5521  (class class class)co 6195   RRcr 9387   0cc0 9388   1c1 9389    + caddc 9391    x. cmul 9393    < clt 9524    <_ cle 9525   NNcn 10428   2c2 10477   NN0cn0 10685   ZZcz 10752   ZZ>=cuz 10967   Xrm crmx 29384   Yrm crmy 29385
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1954  ax-ext 2431  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4573  ax-pr 4634  ax-un 6477  ax-inf2 7953  ax-cnex 9444  ax-resscn 9445  ax-1cn 9446  ax-icn 9447  ax-addcl 9448  ax-addrcl 9449  ax-mulcl 9450  ax-mulrcl 9451  ax-mulcom 9452  ax-addass 9453  ax-mulass 9454  ax-distr 9455  ax-i2m1 9456  ax-1ne0 9457  ax-1rid 9458  ax-rnegex 9459  ax-rrecex 9460  ax-cnre 9461  ax-pre-lttri 9462  ax-pre-lttrn 9463  ax-pre-ltadd 9464  ax-pre-mulgt0 9465  ax-pre-sup 9466  ax-addf 9467  ax-mulf 9468
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2265  df-mo 2266  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2602  df-ne 2647  df-nel 2648  df-ral 2801  df-rex 2802  df-reu 2803  df-rmo 2804  df-rab 2805  df-v 3074  df-sbc 3289  df-csb 3391  df-dif 3434  df-un 3436  df-in 3438  df-ss 3445  df-pss 3447  df-nul 3741  df-if 3895  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4195  df-int 4232  df-iun 4276  df-iin 4277  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4489  df-eprel 4735  df-id 4739  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-ord 4825  df-on 4826  df-lim 4827  df-suc 4828  df-xp 4949  df-rel 4950  df-cnv 4951  df-co 4952  df-dm 4953  df-rn 4954  df-res 4955  df-ima 4956  df-iota 5484  df-fun 5523  df-fn 5524  df-f 5525  df-f1 5526  df-fo 5527  df-f1o 5528  df-fv 5529  df-isom 5530  df-riota 6156  df-ov 6198  df-oprab 6199  df-mpt2 6200  df-of 6425  df-om 6582  df-1st 6682  df-2nd 6683  df-supp 6796  df-recs 6937  df-rdg 6971  df-1o 7025  df-2o 7026  df-oadd 7029  df-omul 7030  df-er 7206  df-map 7321  df-pm 7322  df-ixp 7369  df-en 7416  df-dom 7417  df-sdom 7418  df-fin 7419  df-fsupp 7727  df-fi 7767  df-sup 7797  df-oi 7830  df-card 8215  df-acn 8218  df-cda 8443  df-pnf 9526  df-mnf 9527  df-xr 9528  df-ltxr 9529  df-le 9530  df-sub 9703  df-neg 9704  df-div 10100  df-nn 10429  df-2 10486  df-3 10487  df-4 10488  df-5 10489  df-6 10490  df-7 10491  df-8 10492  df-9 10493  df-10 10494  df-n0 10686  df-z 10753  df-dec 10862  df-uz 10968  df-q 11060  df-rp 11098  df-xneg 11195  df-xadd 11196  df-xmul 11197  df-ioo 11410  df-ioc 11411  df-ico 11412  df-icc 11413  df-fz 11550  df-fzo 11661  df-fl 11754  df-mod 11821  df-seq 11919  df-exp 11978  df-fac 12164  df-bc 12191  df-hash 12216  df-shft 12669  df-cj 12701  df-re 12702  df-im 12703  df-sqr 12837  df-abs 12838  df-limsup 13062  df-clim 13079  df-rlim 13080  df-sum 13277  df-ef 13466  df-sin 13468  df-cos 13469  df-pi 13471  df-dvds 13649  df-gcd 13804  df-numer 13926  df-denom 13927  df-struct 14289  df-ndx 14290  df-slot 14291  df-base 14292  df-sets 14293  df-ress 14294  df-plusg 14365  df-mulr 14366  df-starv 14367  df-sca 14368  df-vsca 14369  df-ip 14370  df-tset 14371  df-ple 14372  df-ds 14374  df-unif 14375  df-hom 14376  df-cco 14377  df-rest 14475  df-topn 14476  df-0g 14494  df-gsum 14495  df-topgen 14496  df-pt 14497  df-prds 14500  df-xrs 14554  df-qtop 14559  df-imas 14560  df-xps 14562  df-mre 14638  df-mrc 14639  df-acs 14641  df-mnd 15529  df-submnd 15579  df-mulg 15662  df-cntz 15949  df-cmn 16395  df-psmet 17929  df-xmet 17930  df-met 17931  df-bl 17932  df-mopn 17933  df-fbas 17934  df-fg 17935  df-cnfld 17939  df-top 18630  df-bases 18632  df-topon 18633  df-topsp 18634  df-cld 18750  df-ntr 18751  df-cls 18752  df-nei 18829  df-lp 18867  df-perf 18868  df-cn 18958  df-cnp 18959  df-haus 19046  df-tx 19262  df-hmeo 19455  df-fil 19546  df-fm 19638  df-flim 19639  df-flf 19640  df-xms 20022  df-ms 20023  df-tms 20024  df-cncf 20581  df-limc 21469  df-dv 21470  df-log 22136  df-squarenn 29325  df-pell1qr 29326  df-pell14qr 29327  df-pell1234qr 29328  df-pellfund 29329  df-rmx 29386  df-rmy 29387
This theorem is referenced by:  ltrmy  29438  jm2.19  29485
  Copyright terms: Public domain W3C validator