Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrmynn0 Structured version   Unicode version

Theorem ltrmynn0 29216
Description: The Y-sequence is strictly monotonic on  NN0. Strengthened by ltrmy 29220. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltrmynn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  N  <->  ( A Yrm  M
)  <  ( A Yrm  N
) ) )

Proof of Theorem ltrmynn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 10665 . . . . . . 7  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
2 frmy 29180 . . . . . . . 8  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
32fovcl 6194 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
41, 3sylan2 471 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
54zred 10743 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
6 eluzelre 10867 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
76adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
85, 7remulcld 9410 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  b )  x.  A )  e.  RR )
9 frmx 29179 . . . . . . . . 9  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
109fovcl 6194 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
111, 10sylan2 471 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
1211nn0red 10633 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  e.  RR )
138, 12readdcld 9409 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) )  e.  RR )
14 rmxypos 29215 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )
1514simprd 460 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
16 2nn 10475 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  NN
17 uznnssnn 10898 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  e.  NN  ->  ( ZZ>=
`  2 )  C_  NN )
1816, 17ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( ZZ>= ` 
2 )  C_  NN
1918sseli 3349 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  NN )
2019nnge1d 10360 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <_  A )
2120adantr 462 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  1  <_  A )
225, 7, 15, 21lemulge11d 10266 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  <_  (
( A Yrm  b )  x.  A ) )
2314simpld 456 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <  ( A Xrm  b ) )
2412, 8ltaddposd 9919 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  <->  ( ( A Yrm  b )  x.  A )  <  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A
)  +  ( A Xrm  b ) ) ) )
2523, 24mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Yrm  b )  x.  A )  <  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
265, 8, 13, 22, 25lelttrd 9525 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  <  (
( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
27 rmyp1 29199 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
281, 27sylan2 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Yrm  b )  x.  A )  +  ( A Xrm  b ) ) )
2926, 28breqtrrd 4315 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  <  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
30 nn0z 10665 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ZZ )
312fovcl 6194 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  a )  e.  ZZ )
3230, 31sylan2 471 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  a )  e.  ZZ )
3332zred 10743 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  a )  e.  RR )
34 nn0uz 10891 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
35 oveq2 6098 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  ( b  +  1 ) ) )
36 oveq2 6098 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  b ) )
37 oveq2 6098 . . 3  |-  ( a  =  M  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  M ) )
38 oveq2 6098 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  ( A Yrm  a )  =  ( A Yrm  N ) )
3929, 33, 34, 35, 36, 37, 38monotuz 29207 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  <  N  <->  ( A Yrm  M )  <  ( A Yrm 
N ) ) )
40393impb 1178 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  N  <->  ( A Yrm  M
)  <  ( A Yrm  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    C_ wss 3325   class class class wbr 4289   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   RRcr 9277   0cc0 9278   1c1 9279    + caddc 9281    x. cmul 9283    < clt 9414    <_ cle 9415   NNcn 10318   2c2 10367   NN0cn0 10575   ZZcz 10642   ZZ>=cuz 10857   Xrm crmx 29166   Yrm crmy 29167
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-inf2 7843  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355  ax-pre-sup 9356  ax-addf 9357  ax-mulf 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-fal 1370  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-se 4676  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-isom 5424  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-of 6319  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-supp 6690  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-omul 6921  df-er 7097  df-map 7212  df-pm 7213  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fsupp 7617  df-fi 7657  df-sup 7687  df-oi 7720  df-card 8105  df-acn 8108  df-cda 8333  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-div 9990  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-10 10384  df-n0 10576  df-z 10643  df-dec 10752  df-uz 10858  df-q 10950  df-rp 10988  df-xneg 11085  df-xadd 11086  df-xmul 11087  df-ioo 11300  df-ioc 11301  df-ico 11302  df-icc 11303  df-fz 11434  df-fzo 11545  df-fl 11638  df-mod 11705  df-seq 11803  df-exp 11862  df-fac 12048  df-bc 12075  df-hash 12100  df-shft 12552  df-cj 12584  df-re 12585  df-im 12586  df-sqr 12720  df-abs 12721  df-limsup 12945  df-clim 12962  df-rlim 12963  df-sum 13160  df-ef 13349  df-sin 13351  df-cos 13352  df-pi 13354  df-dvds 13532  df-gcd 13687  df-numer 13809  df-denom 13810  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-mulr 14248  df-starv 14249  df-sca 14250  df-vsca 14251  df-ip 14252  df-tset 14253  df-ple 14254  df-ds 14256  df-unif 14257  df-hom 14258  df-cco 14259  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-gsum 14377  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-prds 14382  df-xrs 14436  df-qtop 14441  df-imas 14442  df-xps 14444  df-mre 14520  df-mrc 14521  df-acs 14523  df-mnd 15411  df-submnd 15461  df-mulg 15541  df-cntz 15828  df-cmn 16272  df-psmet 17768  df-xmet 17769  df-met 17770  df-bl 17771  df-mopn 17772  df-fbas 17773  df-fg 17774  df-cnfld 17778  df-top 18462  df-bases 18464  df-topon 18465  df-topsp 18466  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-nei 18661  df-lp 18699  df-perf 18700  df-cn 18790  df-cnp 18791  df-haus 18878  df-tx 19094  df-hmeo 19287  df-fil 19378  df-fm 19470  df-flim 19471  df-flf 19472  df-xms 19854  df-ms 19855  df-tms 19856  df-cncf 20413  df-limc 21300  df-dv 21301  df-log 21967  df-squarenn 29107  df-pell1qr 29108  df-pell14qr 29109  df-pell1234qr 29110  df-pellfund 29111  df-rmx 29168  df-rmy 29169
This theorem is referenced by:  ltrmy  29220  jm2.19  29267
  Copyright terms: Public domain W3C validator