Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrmxnn0 Structured version   Unicode version

Theorem ltrmxnn0 29235
Description: The X-sequence is strictly monotonic on  NN0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltrmxnn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  N  <->  ( A Xrm  M
)  <  ( A Xrm  N
) ) )

Proof of Theorem ltrmxnn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 10661 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
2 frmx 29197 . . . . . . 7  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
32fovcl 6190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
41, 3sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
54nn0red 10629 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  e.  RR )
6 eluzelre 10863 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
85, 7remulcld 9406 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Xrm  b )  x.  A )  e.  RR )
91peano2zd 10742 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e.  ZZ )
102fovcl 6190 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( b  +  1 ) )  e. 
NN0 )
119, 10sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  e.  NN0 )
1211nn0red 10629 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
13 eluz2b2 10919 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
1413simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  A )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  1  <  A )
16 rmxypos 29233 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )
1716simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <  ( A Xrm  b ) )
18 ltmulgt11 10181 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Xrm  b )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  < 
( A Xrm  b ) )  ->  ( 1  < 
A  <->  ( A Xrm  b )  <  ( ( A Xrm  b )  x.  A ) ) )
195, 7, 17, 18syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
1  <  A  <->  ( A Xrm  b )  <  ( ( A Xrm  b )  x.  A
) ) )
2015, 19mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  <  (
( A Xrm  b )  x.  A ) )
21 rmspecnonsq 29191 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
2221eldifad 3333 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
2322adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN )
2423nnred 10329 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  RR )
25 frmy 29198 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2625fovcl 6190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
271, 26sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2827zred 10739 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
2923nnnn0d 10628 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN0 )
3029nn0ge0d 10631 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )
3116simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
3224, 28, 30, 31mulge0d 9908 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) )
3324, 28remulcld 9406 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  e.  RR )
348, 33addge01d 9919 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <_  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  <->  ( ( A Xrm  b )  x.  A )  <_  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A
)  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) ) )
3532, 34mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Xrm  b )  x.  A )  <_  (
( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
36 rmxp1 29216 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
371, 36sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
3835, 37breqtrrd 4311 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Xrm  b )  x.  A )  <_  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
395, 8, 12, 20, 38ltletrd 9523 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
40 nn0z 10661 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ZZ )
412fovcl 6190 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  a )  e.  NN0 )
4240, 41sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  a )  e.  NN0 )
4342nn0red 10629 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  a )  e.  RR )
44 nn0uz 10887 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
45 oveq2 6094 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
46 oveq2 6094 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  b ) )
47 oveq2 6094 . . 3  |-  ( a  =  M  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  M ) )
48 oveq2 6094 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  N ) )
4939, 43, 44, 45, 46, 47, 48monotuz 29225 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  <  N  <->  ( A Xrm  M )  <  ( A Xrm 
N ) ) )
50493impb 1183 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  N  <->  ( A Xrm  M
)  <  ( A Xrm  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   class class class wbr 4285   ` cfv 5411  (class class class)co 6086   RRcr 9273   0cc0 9274   1c1 9275    + caddc 9277    x. cmul 9279    < clt 9410    <_ cle 9411    - cmin 9587   NNcn 10314   2c2 10363   NN0cn0 10571   ZZcz 10638   ZZ>=cuz 10853   ^cexp 11857  ◻NNcsquarenn 29120   Xrm crmx 29184   Yrm crmy 29185
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2418  ax-rep 4396  ax-sep 4406  ax-nul 4414  ax-pow 4463  ax-pr 4524  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2714  df-rex 2715  df-reu 2716  df-rmo 2717  df-rab 2718  df-v 2968  df-sbc 3180  df-csb 3282  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3631  df-if 3785  df-pw 3855  df-sn 3871  df-pr 3873  df-tp 3875  df-op 3877  df-uni 4085  df-int 4122  df-iun 4166  df-iin 4167  df-br 4286  df-opab 4344  df-mpt 4345  df-tr 4379  df-eprel 4624  df-id 4628  df-po 4633  df-so 4634  df-fr 4671  df-se 4672  df-we 4673  df-ord 4714  df-on 4715  df-lim 4716  df-suc 4717  df-xp 4838  df-rel 4839  df-cnv 4840  df-co 4841  df-dm 4842  df-rn 4843  df-res 4844  df-ima 4845  df-iota 5374  df-fun 5413  df-fn 5414  df-f 5415  df-f1 5416  df-fo 5417  df-f1o 5418  df-fv 5419  df-isom 5420  df-riota 6045  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-dvds 13528  df-gcd 13683  df-numer 13805  df-denom 13806  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15537  df-cntz 15824  df-cmn 16268  df-psmet 17778  df-xmet 17779  df-met 17780  df-bl 17781  df-mopn 17782  df-fbas 17783  df-fg 17784  df-cnfld 17788  df-top 18472  df-bases 18474  df-topon 18475  df-topsp 18476  df-cld 18592  df-ntr 18593  df-cls 18594  df-nei 18671  df-lp 18709  df-perf 18710  df-cn 18800  df-cnp 18801  df-haus 18888  df-tx 19104  df-hmeo 19297  df-fil 19388  df-fm 19480  df-flim 19481  df-flf 19482  df-xms 19864  df-ms 19865  df-tms 19866  df-cncf 20423  df-limc 21310  df-dv 21311  df-log 21977  df-squarenn 29125  df-pell1qr 29126  df-pell14qr 29127  df-pell1234qr 29128  df-pellfund 29129  df-rmx 29186  df-rmy 29187
This theorem is referenced by:  lermxnn0  29236
  Copyright terms: Public domain W3C validator