Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ltrmxnn0 Structured version   Unicode version

Theorem ltrmxnn0 31091
Description: The X-sequence is strictly monotonic on  NN0. (Contributed by Stefan O'Rear, 4-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
ltrmxnn0  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  N  <->  ( A Xrm  M
)  <  ( A Xrm  N
) ) )

Proof of Theorem ltrmxnn0
Dummy variables  a 
b are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nn0z 10908 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN0  ->  b  e.  ZZ )
2 frmx 31053 . . . . . . 7  |- Xrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> NN0
32fovcl 6406 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
41, 3sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  e.  NN0 )
54nn0red 10874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  e.  RR )
6 eluzelre 11116 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  A  e.  RR )
76adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  A  e.  RR )
85, 7remulcld 9641 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Xrm  b )  x.  A )  e.  RR )
91peano2zd 10993 . . . . . 6  |-  ( b  e.  NN0  ->  ( b  +  1 )  e.  ZZ )
102fovcl 6406 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
b  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( A Xrm  ( b  +  1 ) )  e. 
NN0 )
119, 10sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  e.  NN0 )
1211nn0red 10874 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  e.  RR )
13 eluz2b2 11179 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( A  e.  NN  /\  1  < 
A ) )
1413simprbi 464 . . . . . 6  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  A )
1514adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  1  <  A )
16 rmxypos 31089 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <  ( A Xrm  b )  /\  0  <_ 
( A Yrm  b ) ) )
1716simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <  ( A Xrm  b ) )
18 ltmulgt11 10423 . . . . . 6  |-  ( ( ( A Xrm  b )  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  < 
( A Xrm  b ) )  ->  ( 1  < 
A  <->  ( A Xrm  b )  <  ( ( A Xrm  b )  x.  A ) ) )
195, 7, 17, 18syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
1  <  A  <->  ( A Xrm  b )  <  ( ( A Xrm  b )  x.  A
) ) )
2015, 19mpbid 210 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  <  (
( A Xrm  b )  x.  A ) )
21 rmspecnonsq 31047 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  ( NN  \NN ) )
2221eldifad 3483 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  e.  NN )
2322adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN )
2423nnred 10571 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  RR )
25 frmy 31054 . . . . . . . . . 10  |- Yrm  : (
( ZZ>= `  2 )  X.  ZZ ) --> ZZ
2625fovcl 6406 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
271, 26sylan2 474 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  e.  ZZ )
2827zred 10990 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Yrm  b )  e.  RR )
2923nnnn0d 10873 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A ^ 2 )  -  1 )  e.  NN0 )
3029nn0ge0d 10876 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( A ^
2 )  -  1 ) )
3116simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( A Yrm  b ) )
3224, 28, 30, 31mulge0d 10150 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  0  <_  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) )
3324, 28remulcld 9641 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( ( A ^
2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  e.  RR )
348, 33addge01d 10161 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
0  <_  ( (
( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) )  <->  ( ( A Xrm  b )  x.  A )  <_  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A
)  +  ( ( ( A ^ 2 )  -  1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) ) )
3532, 34mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Xrm  b )  x.  A )  <_  (
( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
36 rmxp1 31072 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
371, 36sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  ( b  +  1 ) )  =  ( ( ( A Xrm  b )  x.  A )  +  ( ( ( A ^ 2 )  - 
1 )  x.  ( A Yrm  b ) ) ) )
3835, 37breqtrrd 4482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  (
( A Xrm  b )  x.  A )  <_  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
395, 8, 12, 20, 38ltletrd 9759 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  b  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  b )  <  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
40 nn0z 10908 . . . . 5  |-  ( a  e.  NN0  ->  a  e.  ZZ )
412fovcl 6406 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  ZZ )  ->  ( A Xrm  a )  e.  NN0 )
4240, 41sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  a )  e.  NN0 )
4342nn0red 10874 . . 3  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  a  e.  NN0 )  ->  ( A Xrm  a )  e.  RR )
44 nn0uz 11140 . . 3  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
45 oveq2 6304 . . 3  |-  ( a  =  ( b  +  1 )  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  ( b  +  1 ) ) )
46 oveq2 6304 . . 3  |-  ( a  =  b  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  b ) )
47 oveq2 6304 . . 3  |-  ( a  =  M  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  M ) )
48 oveq2 6304 . . 3  |-  ( a  =  N  ->  ( A Xrm  a )  =  ( A Xrm  N ) )
4939, 43, 44, 45, 46, 47, 48monotuz 31081 . 2  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( M  e.  NN0  /\  N  e.  NN0 ) )  -> 
( M  <  N  <->  ( A Xrm  M )  <  ( A Xrm 
N ) ) )
50493impb 1192 1  |-  ( ( A  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  M  e.  NN0  /\  N  e. 
NN0 )  ->  ( M  <  N  <->  ( A Xrm  M
)  <  ( A Xrm  N
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   class class class wbr 4456   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   RRcr 9508   0cc0 9509   1c1 9510    + caddc 9512    x. cmul 9514    < clt 9645    <_ cle 9646    - cmin 9824   NNcn 10556   2c2 10606   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ZZ>=cuz 11106   ^cexp 12169  ◻NNcsquarenn 30976   Xrm crmx 31040   Yrm crmy 31041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587  ax-addf 9588  ax-mulf 9589
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-iin 4335  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-of 6539  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-supp 6918  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-ixp 7489  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-fsupp 7848  df-fi 7889  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-10 10623  df-n0 10817  df-z 10886  df-dec 11001  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-xneg 11343  df-xadd 11344  df-xmul 11345  df-ioo 11558  df-ioc 11559  df-ico 11560  df-icc 11561  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-shft 12912  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-limsup 13306  df-clim 13323  df-rlim 13324  df-sum 13521  df-ef 13815  df-sin 13817  df-cos 13818  df-pi 13820  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-numer 14280  df-denom 14281  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-mulr 14726  df-starv 14727  df-sca 14728  df-vsca 14729  df-ip 14730  df-tset 14731  df-ple 14732  df-ds 14734  df-unif 14735  df-hom 14736  df-cco 14737  df-rest 14840  df-topn 14841  df-0g 14859  df-gsum 14860  df-topgen 14861  df-pt 14862  df-prds 14865  df-xrs 14919  df-qtop 14924  df-imas 14925  df-xps 14927  df-mre 15003  df-mrc 15004  df-acs 15006  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-mulg 16187  df-cntz 16482  df-cmn 16927  df-psmet 18538  df-xmet 18539  df-met 18540  df-bl 18541  df-mopn 18542  df-fbas 18543  df-fg 18544  df-cnfld 18548  df-top 19526  df-bases 19528  df-topon 19529  df-topsp 19530  df-cld 19647  df-ntr 19648  df-cls 19649  df-nei 19726  df-lp 19764  df-perf 19765  df-cn 19855  df-cnp 19856  df-haus 19943  df-tx 20189  df-hmeo 20382  df-fil 20473  df-fm 20565  df-flim 20566  df-flf 20567  df-xms 20949  df-ms 20950  df-tms 20951  df-cncf 21508  df-limc 22396  df-dv 22397  df-log 23070  df-squarenn 30981  df-pell1qr 30982  df-pell14qr 30983  df-pell1234qr 30984  df-pellfund 30985  df-rmx 31042  df-rmy 31043
This theorem is referenced by:  lermxnn0  31092
  Copyright terms: Public domain W3C validator