MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltresr Structured version   Unicode version

Theorem ltresr 9506
Description: Ordering of real subset of complex numbers in terms of signed reals. (Contributed by NM, 22-Feb-1996.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltresr  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >. 
<->  A  <R  B )

Proof of Theorem ltresr
Dummy variables  x  y  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelre 9500 . . . 4  |-  <RR  C_  ( RR  X.  RR )
21brel 5037 . . 3  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  ->  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\ 
<. B ,  0R >.  e.  RR ) )
3 opelreal 9496 . . . 4  |-  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  <->  A  e.  R. )
4 opelreal 9496 . . . 4  |-  ( <. B ,  0R >.  e.  RR  <->  B  e.  R. )
53, 4anbi12i 695 . . 3  |-  ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  <-> 
( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )
)
62, 5sylib 196 . 2  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  ->  ( A  e.  R.  /\  B  e. 
R. ) )
7 ltrelsr 9434 . . 3  |-  <R  C_  ( R.  X.  R. )
87brel 5037 . 2  |-  ( A 
<R  B  ->  ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. ) )
9 opex 4701 . . . . . . 7  |-  <. A ,  0R >.  e.  _V
10 opex 4701 . . . . . . 7  |-  <. B ,  0R >.  e.  _V
11 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( x  e.  RR  <->  <. A ,  0R >.  e.  RR ) )
1211anbi1d 702 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <->  ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  y  e.  RR ) ) )
13 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( x  = 
<. z ,  0R >.  <->  <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >. )
)
1413anbi1d 702 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  <->  (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. ) ) )
1514anbi1d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  ( ( <. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
16152exbidv 1721 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
1712, 16anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( x  =  <. A ,  0R >.  ->  ( ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  E. z E. w
( ( x  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) )  <->  ( ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  E. z E. w ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) ) )
18 eleq1 2526 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( y  e.  RR  <->  <. B ,  0R >.  e.  RR ) )
1918anbi2d 701 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  y  e.  RR )  <-> 
( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR ) ) )
20 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( y  = 
<. w ,  0R >.  <->  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )
)
2120anbi2d 701 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  <->  ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. ) ) )
2221anbi1d 702 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  ( ( <. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\ 
<. B ,  0R >.  = 
<. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w
) ) )
23222exbidv 1721 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
2419, 23anbi12d 708 . . . . . . 7  |-  ( y  =  <. B ,  0R >.  ->  ( ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  E. z E. w ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) )  <->  ( ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  /\  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) ) )
25 df-lt 9494 . . . . . . 7  |-  <RR  =  { <. x ,  y >.  |  ( ( x  e.  RR  /\  y  e.  RR )  /\  E. z E. w ( ( x  =  <. z ,  0R >.  /\  y  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) }
269, 10, 17, 24, 25brab 4759 . . . . . 6  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >. 
<->  ( ( <. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  /\  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
2726baib 901 . . . . 5  |-  ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  ->  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  <->  E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w ) ) )
28 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
2928eqresr 9503 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
z ,  0R >.  = 
<. A ,  0R >.  <->  z  =  A )
30 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  <->  <. z ,  0R >.  =  <. A ,  0R >. )
31 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  z  <->  z  =  A )
3229, 30, 313bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  <->  A  =  z )
33 vex 3109 . . . . . . . . . . 11  |-  w  e. 
_V
3433eqresr 9503 . . . . . . . . . 10  |-  ( <.
w ,  0R >.  = 
<. B ,  0R >.  <->  w  =  B )
35 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >.  <->  <. w ,  0R >.  =  <. B ,  0R >. )
36 eqcom 2463 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  =  w  <->  w  =  B )
3734, 35, 363bitr4i 277 . . . . . . . . 9  |-  ( <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >.  <->  B  =  w )
3832, 37anbi12i 695 . . . . . . . 8  |-  ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\ 
<. B ,  0R >.  = 
<. w ,  0R >. )  <-> 
( A  =  z  /\  B  =  w ) )
3928, 33opth2 4715 . . . . . . . 8  |-  ( <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  <->  ( A  =  z  /\  B  =  w )
)
4038, 39bitr4i 252 . . . . . . 7  |-  ( (
<. A ,  0R >.  = 
<. z ,  0R >.  /\ 
<. B ,  0R >.  = 
<. w ,  0R >. )  <->  <. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >. )
4140anbi1i 693 . . . . . 6  |-  ( ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  z  <R  w ) )
42412exbii 1673 . . . . 5  |-  ( E. z E. w ( ( <. A ,  0R >.  =  <. z ,  0R >.  /\  <. B ,  0R >.  =  <. w ,  0R >. )  /\  z  <R  w )  <->  E. z E. w ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  z  <R  w ) )
4327, 42syl6bb 261 . . . 4  |-  ( (
<. A ,  0R >.  e.  RR  /\  <. B ,  0R >.  e.  RR )  ->  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >.  <->  E. z E. w (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  z  <R  w )
) )
443, 4, 43syl2anbr 478 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >. 
<RR  <. B ,  0R >.  <->  E. z E. w (
<. A ,  B >.  = 
<. z ,  w >.  /\  z  <R  w )
) )
45 breq12 4444 . . . 4  |-  ( ( z  =  A  /\  w  =  B )  ->  ( z  <R  w  <->  A 
<R  B ) )
4645copsex2g 4724 . . 3  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( E. z E. w ( <. A ,  B >.  =  <. z ,  w >.  /\  z  <R  w )  <->  A  <R  B ) )
4744, 46bitrd 253 . 2  |-  ( ( A  e.  R.  /\  B  e.  R. )  ->  ( <. A ,  0R >. 
<RR  <. B ,  0R >.  <-> 
A  <R  B ) )
486, 8, 47pm5.21nii 351 1  |-  ( <. A ,  0R >.  <RR  <. B ,  0R >. 
<->  A  <R  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398   E.wex 1617    e. wcel 1823   <.cop 4022   class class class wbr 4439   R.cnr 9232   0Rc0r 9233    <R cltr 9238   RRcr 9480    <RR cltrr 9485
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-ec 7305  df-qs 7309  df-ni 9239  df-pli 9240  df-mi 9241  df-lti 9242  df-plpq 9275  df-mpq 9276  df-ltpq 9277  df-enq 9278  df-nq 9279  df-erq 9280  df-plq 9281  df-mq 9282  df-1nq 9283  df-rq 9284  df-ltnq 9285  df-np 9348  df-1p 9349  df-enr 9422  df-nr 9423  df-ltr 9426  df-0r 9427  df-r 9491  df-lt 9494
This theorem is referenced by:  ltresr2  9507  axpre-lttri  9531  axpre-lttrn  9532  axpre-ltadd  9533  axpre-mulgt0  9534  axpre-sup  9535
  Copyright terms: Public domain W3C validator