Theorem ltrec 7067

Description: The reciprocal of both sides of 'less than'.

Assertion

Ref	Expression
ltrec	|- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A)))

Proof of Theorem ltrec

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq2 3342	. . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (0 < A <-> 0 < if(A e. RR, A, 0)))
2	1	anbi1d 679	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((0 < A /\ 0 < B) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B)))
3		breq1 3341	. . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (A < B <-> if(A e. RR, A, 0) < B))
4		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (1 / A) = (1 / if(A e. RR, A, 0)))
5	4	breq2d 3350	. . . . . 6 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((1 / B) < (1 / A) <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))
6	3, 5	bibi12d 691	. . . . 5 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> ((A < B <-> (1 / B) < (1 / A)) <-> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0)))))
7	2, 6	imbi12d 688	. . . 4 |- (A = if(A e. RR, A, 0) -> (((0 < A /\ 0 < B) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A))) <-> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) -> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))))
8		breq2 3342	. . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (0 < B <-> 0 < if(B e. RR, B, 0)))
9	8	anbi2d 678	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) <-> (0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0))))
10		breq2 3342	. . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0)))
11		opreq2 4890	. . . . . . 7 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (1 / B) = (1 / if(B e. RR, B, 0)))
12	11	breq1d 3348	. . . . . 6 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0)) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))
13	10, 12	bibi12d 691	. . . . 5 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> ((if(A e. RR, A, 0) < B <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0))) <-> (if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) < (1 / if(A e. RR, A, 0)))))
14	9, 13	imbi12d 688	. . . 4 |- (B = if(B e. RR, B, 0) -> (((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < B) -> (if(A e. RR, A, 0) < B <-> (1 / B) < (1 / if(A e. RR, A, 0)))) <-> ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0)) -> (if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))))
15		0re 6603	. . . . . 6 |- 0 e. RR
16	15	elimel 3025	. . . . 5 |- if(A e. RR, A, 0) e. RR
17	15	elimel 3025	. . . . 5 |- if(B e. RR, B, 0) e. RR
18	16, 17	ltreci 7062	. . . 4 |- ((0 < if(A e. RR, A, 0) /\ 0 < if(B e. RR, B, 0)) -> (if(A e. RR, A, 0) < if(B e. RR, B, 0) <-> (1 / if(B e. RR, B, 0)) < (1 / if(A e. RR, A, 0))))
19	7, 14, 18	dedth2h 3015	. . 3 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> ((0 < A /\ 0 < B) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A))))
20	19	imp 377	. 2 |- (((A e. RR /\ B e. RR) /\ (0 < A /\ 0 < B)) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A)))
21	20	an4s 566	1 |- (((A e. RR /\ 0 < A) /\ (B e. RR /\ 0 < B)) -> (A < B <-> (1 / B) < (1 / A)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  ifcif 2982   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  RRcr 6385  0cc0 6386  1c1 6387   / cdiv 6447   < clt 6653

This theorem is referenced by:  ltdiv2 7070  ltrec1 7071  reclt1 7081  recgt1 7082  nnrecl 7281  expord2 7849  heiborlem35 15989

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-mpt 5006  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-iota 5089  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-undef 5556  df-riota 5560  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-mp 6241  df-ltp 6242  df-plpr 6316  df-mpr 6317  df-enr 6318  df-nr 6319  df-plr 6320  df-mr 6321  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-1r 6324  df-m1r 6325  df-c 6392  df-0 6393  df-1 6394  df-i 6395  df-r 6396  df-plus 6397  df-mul 6398  df-lt 6399  df-sub 6511  df-neg 6513  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-div 6892

Copyright terms: Public domain