MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltpsrpr Structured version   Unicode version

Theorem ltpsrpr 9503
Description: Mapping of order from positive signed reals to positive reals. (Contributed by NM, 17-May-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltpsrpr.3  |-  C  e. 
R.
Assertion
Ref Expression
ltpsrpr  |-  ( ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. B ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A  <P  B )

Proof of Theorem ltpsrpr
StepHypRef Expression
1 ltpsrpr.3 . . 3  |-  C  e. 
R.
2 ltasr 9494 . . 3  |-  ( C  e.  R.  ->  ( [ <. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. B ,  1P >. ]  ~R  ) ) )
31, 2ax-mp 5 . 2  |-  ( [
<. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  <->  ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <R 
( C  +R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  ) )
4 addcompr 9416 . . . 4  |-  ( A  +P.  1P )  =  ( 1P  +P.  A
)
54breq1i 4463 . . 3  |-  ( ( A  +P.  1P ) 
<P  ( 1P  +P.  B
)  <->  ( 1P  +P.  A )  <P  ( 1P  +P.  B ) )
6 ltsrpr 9471 . . 3  |-  ( [
<. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  <->  ( A  +P.  1P )  <P  ( 1P  +P.  B ) )
7 1pr 9410 . . . 4  |-  1P  e.  P.
8 ltapr 9440 . . . 4  |-  ( 1P  e.  P.  ->  ( A  <P  B  <->  ( 1P  +P.  A )  <P  ( 1P  +P.  B ) ) )
97, 8ax-mp 5 . . 3  |-  ( A 
<P  B  <->  ( 1P  +P.  A )  <P  ( 1P  +P.  B ) )
105, 6, 93bitr4i 277 . 2  |-  ( [
<. A ,  1P >. ]  ~R  <R  [ <. B ,  1P >. ]  ~R  <->  A  <P  B )
113, 10bitr3i 251 1  |-  ( ( C  +R  [ <. A ,  1P >. ]  ~R  )  <R  ( C  +R  [
<. B ,  1P >. ]  ~R  )  <->  A  <P  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1819   <.cop 4038   class class class wbr 4456  (class class class)co 6296   [cec 7327   P.cnp 9254   1Pc1p 9255    +P. cpp 9256    <P cltp 9258    ~R cer 9259   R.cnr 9260    +R cplr 9264    <R cltr 9266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-ni 9267  df-pli 9268  df-mi 9269  df-lti 9270  df-plpq 9303  df-mpq 9304  df-ltpq 9305  df-enq 9306  df-nq 9307  df-erq 9308  df-plq 9309  df-mq 9310  df-1nq 9311  df-rq 9312  df-ltnq 9313  df-np 9376  df-1p 9377  df-plp 9378  df-ltp 9380  df-enr 9450  df-nr 9451  df-plr 9452  df-ltr 9454
This theorem is referenced by:  supsrlem  9505
  Copyright terms: Public domain W3C validator