Theorem ltpnfd 11451

Description: Any (finite) real is less than plus infinity. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltpnfd.a	|- ( ph -> A e. RR )

Assertion

Ref	Expression
ltpnfd	|- ( ph -> A < +oo )

Proof of Theorem ltpnfd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltpnfd.a	. 2 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltpnf 11450	. 2 |- ( A e. RR -> A < +oo )
3	1, 2	syl 17	1 |- ( ph -> A < +oo )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1897   class class class wbr 4415   RRcr 9563   +oocpnf 9697   < clt 9700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1679  ax-4 1692  ax-5 1768  ax-6 1815  ax-7 1861  ax-8 1899  ax-9 1906  ax-10 1925  ax-11 1930  ax-12 1943  ax-13 2101  ax-ext 2441  ax-sep 4538  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6609  ax-cnex 9620

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3an 993  df-tru 1457  df-ex 1674  df-nf 1678  df-sb 1808  df-eu 2313  df-mo 2314  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2591  df-ne 2634  df-ral 2753  df-rex 2754  df-rab 2757  df-v 3058  df-dif 3418  df-un 3420  df-in 3422  df-ss 3429  df-nul 3743  df-if 3893  df-pw 3964  df-sn 3980  df-pr 3982  df-op 3986  df-uni 4212  df-br 4416  df-opab 4475  df-xp 4858  df-pnf 9702  df-xr 9704  df-ltxr 9705

This theorem is referenced by:  limsupgre  13590  fprodge1  14097  mbflimsup  22671  supxrge  37598  iocopn  37658  ge0lere  37671  fsumge0cl  37689  limcicciooub  37754  limcresiooub  37760  limcleqr  37762  icccncfext  37802  fourierdlem31  38037  fourierdlem31OLD  38038  fourierdlem33  38040  fourierdlem46  38053  fourierdlem48  38055  fourierdlem49  38056  fourierdlem75  38082  fourierdlem85  38092  fourierdlem88  38095  fourierdlem95  38102  fourierdlem103  38110  fourierdlem104  38111  fourierdlem107  38114  fourierdlem109  38116  fourierdlem112  38119  fouriersw  38132  sge0tsms  38259  sge0isum  38306  sge0ad2en  38310  sge0xaddlem2  38313  omessre  38368  omeiunltfirp  38377  hoiprodcl  38406  ovnsubaddlem1  38429  hoiprodcl3  38439  hoidmvcl  38441  sge0hsphoire  38448  hoidmv1lelem1  38450  hoidmv1lelem2  38451  hoidmv1lelem3  38452  hoidmv1le  38453  hoidmvlelem1  38454  hoidmvlelem3  38456  hoidmvlelem4  38457