Theorem ltpiord 6167

Description: Positive integer 'less than' in terms of ordinal membership.

Assertion

Ref	Expression
ltpiord	|- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))

Proof of Theorem ltpiord

Step	Hyp	Ref	Expression
1		breq1 3341	. . 3 |- (x = A -> (x <N y <-> A <N y))
2		eleq1 1957	. . 3 |- (x = A -> (x e. y <-> A e. y))
3	1, 2	bibi12d 691	. 2 |- (x = A -> ((x <N y <-> x e. y) <-> (A <N y <-> A e. y)))
4		breq2 3342	. . 3 |- (y = B -> (A <N y <-> A <N B))
5		eleq2 1958	. . 3 |- (y = B -> (A e. y <-> A e. B))
6	4, 5	bibi12d 691	. 2 |- (y = B -> ((A <N y <-> A e. y) <-> (A <N B <-> A e. B)))
7		visset 2295	. . . 4 |- y e. _V
8	7	opelxp 4036	. . 3 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) <-> (x e. N. /\ y e. N.))
9		iba 704	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (<.x, y>. e. _E <-> (<.x, y>. e. _E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.))))
10		df-br 3339	. . . . . 6 |- (x _E y <-> <.x, y>. e. _E )
11		epel 3585	. . . . . 6 |- (x _E y <-> x e. y)
12	10, 11	bitr3i 192	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. _E <-> x e. y)
13	9, 12	syl5bbr 593	. . . 4 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (x e. y <-> (<.x, y>. e. _E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.))))
14		df-br 3339	. . . . 5 |- (x <N y <-> <.x, y>. e. <N )
15		df-lti 6155	. . . . . 6 |- <N = ( _E i^i (N. X. N.))
16	15	eleq2i 1961	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. <N <-> <.x, y>. e. ( _E i^i (N. X. N.)))
17		elin 2786	. . . . 5 |- (<.x, y>. e. ( _E i^i (N. X. N.)) <-> (<.x, y>. e. _E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.)))
18	14, 16, 17	3bitri 194	. . . 4 |- (x <N y <-> (<.x, y>. e. _E /\ <.x, y>. e. (N. X. N.)))
19	13, 18	syl6rbbr 598	. . 3 |- (<.x, y>. e. (N. X. N.) -> (x <N y <-> x e. y))
20	8, 19	sylbir 218	. 2 |- ((x e. N. /\ y e. N.) -> (x <N y <-> x e. y))
21	3, 6, 20	vtocl2ga 2353	1 |- ((A e. N. /\ B e. N.) -> (A <N B <-> A e. B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   i^i cin 2592  <.cop 3046   class class class wbr 3338   _E cep 3581   X. cxp 3984  N.cnpi 6124   <N clti 6127

This theorem is referenced by:  ltsopi 6168  ltexpi 6181  ltapi 6182  ltmpi 6183  1lt2pi 6184  nlt1pi 6185  indpi 6186

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-br 3339  df-opab 3396  df-eprel 3583  df-xp 4000  df-lti 6155

Copyright terms: Public domain