MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Unicode version

Theorem ltp1d 10471
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltp1d  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltp1 10376 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1823   class class class wbr 4439  (class class class)co 6270   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799
This theorem is referenced by:  zltp1le  10909  rpnnen1lem5  11213  fznatpl1  11738  fzonn0p1  11873  seqf1olem1  12128  seqf1olem2  12129  bernneq3  12276  expmulnbnd  12280  discr1  12284  discr  12285  bcp1nk  12377  bcpasc  12381  hashfun  12479  seqcoll  12496  seqcoll2  12497  o1rlimmul  13523  fsum1p  13650  climcndslem2  13744  mertenslem1  13775  fprodntriv  13831  fprod1p  13854  fprodeq0  13861  sqrt2irr  14066  iserodd  14443  prmreclem4  14521  prmreclem5  14522  4sqlem11  14557  vdwlem6  14588  vdwlem11  14593  vdwlem12  14594  sylow1lem1  16817  efgsfo  16956  efgred  16965  telgsums  17217  srgbinomlem3  17388  icopnfcnv  21608  cnheibor  21621  pjthlem1  22018  ovolicopnf  22101  uniioombllem3  22160  dvfsumrlim  22598  plyco0  22755  vieta1lem2  22873  mtest  22965  itgulm  22969  psercnlem1  22986  psercn  22987  abelthlem2  22993  abelthlem7  22999  logcnlem4  23194  atanlogsublem  23443  birthdaylem2  23480  efrlim  23497  fsumharmonic  23539  ftalem5  23548  basellem1  23552  basellem3  23554  ppiprm  23623  chtprm  23625  chtdif  23630  ppidif  23635  chtub  23685  perfectlem2  23703  lgsquadlem2  23828  dchrisum0lem1b  23898  dchrisum0lem3  23902  pntrlog2bndlem6  23966  pntpbnd1  23969  pntpbnd2  23970  pntlemc  23978  pntlemf  23988  ostth2lem1  24001  ostth2lem3  24018  axlowdimlem16  24462  wwlknredwwlkn  24928  wwlkext2clwwlk  25005  eupap1  25178  eupath2lem3  25181  smcnlem  25805  pjhthlem1  26507  esumpmono  28308  oddpwdc  28557  ballotlemfc0  28695  ballotlemfcc  28696  subfaclim  28896  erdsze2lem2  28912  cvmliftlem7  29000  cvmliftlem10  29003  binomfallfaclem2  29403  fallfacval4  29406  mblfinlem2  30292  itg2addnclem2  30307  isbnd3  30520  eldioph2lem1  30932  pell14qrgapw  31051  rmygeid  31141  monoords  31735  ioodvbdlimc1lem1  31967  ioodvbdlimc1lem2  31968  ioodvbdlimc2lem  31970  dvnxpaek  31978  dvnmul  31979  iblspltprt  32011  itgspltprt  32017  wallispilem5  32090  stirlinglem1  32095  stirlinglem3  32097  stirlinglem5  32099  stirlinglem6  32100  stirlinglem7  32101  stirlinglem10  32104  fourierdlem11  32139  fourierdlem12  32140  fourierdlem20  32148  fourierdlem30  32158  fourierdlem50  32178  fourierdlem54  32182  fourierdlem64  32192  fourierdlem65  32193  fourierdlem76  32204  fourierdlem77  32205  fourierdlem79  32207  fourierdlem102  32230  fourierdlem103  32231  fourierdlem104  32232  fourierdlem114  32242  etransclem46  32302  nno  33392  aacllem  33604
  Copyright terms: Public domain W3C validator