MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Unicode version

Theorem ltp1d 10539
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltp1d  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltp1 10445 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
31, 2syl 17 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1869   class class class wbr 4421  (class class class)co 6303   RRcr 9540   1c1 9542    + caddc 9544    < clt 9677
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-op 4004  df-uni 4218  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865
This theorem is referenced by:  zltp1le  10988  rpnnen1lem5  11296  fznatpl1  11852  fzonn0p1  11991  seqf1olem1  12253  seqf1olem2  12254  bernneq3  12401  expmulnbnd  12405  discr1  12409  discr  12410  bcp1nk  12503  bcpasc  12507  hashfun  12608  seqcoll  12626  seqcoll2  12627  o1rlimmul  13675  fsum1p  13807  climcndslem2  13901  mertenslem1  13933  fprodntriv  13989  fprod1p  14015  fprodeq0  14022  binomfallfaclem2  14086  fallfacval4  14089  sqrt2irr  14294  iserodd  14778  prmreclem4  14856  prmreclem5  14857  4sqlem11  14892  vdwlem6  14929  vdwlem11  14934  vdwlem12  14935  sylow1lem1  17243  efgsfo  17382  efgred  17391  telgsums  17616  srgbinomlem3  17768  icopnfcnv  21962  cnheibor  21975  pjthlem1  22383  ovolicopnf  22470  uniioombllem3  22535  dvfsumrlim  22975  plyco0  23138  vieta1lem2  23256  mtest  23351  itgulm  23355  psercnlem1  23372  psercn  23373  abelthlem2  23379  abelthlem7  23385  logcnlem4  23582  atanlogsublem  23833  birthdaylem2  23870  efrlim  23887  fsumharmonic  23929  ftalem5  23993  ftalem5OLD  23995  basellem1  23999  basellem3  24001  ppiprm  24070  chtprm  24072  chtdif  24077  ppidif  24082  chtub  24132  perfectlem2  24150  lgsquadlem2  24275  dchrisum0lem1b  24345  dchrisum0lem3  24349  pntrlog2bndlem6  24413  pntpbnd1  24416  pntpbnd2  24417  pntlemc  24425  pntlemf  24435  ostth2lem1  24448  ostth2lem3  24465  axlowdimlem16  24979  wwlknredwwlkn  25446  wwlkext2clwwlk  25523  eupap1  25696  eupath2lem3  25699  smcnlem  26325  pjhthlem1  27036  pmtrto1cl  28614  psgnfzto1stlem  28615  esumpmono  28902  oddpwdc  29189  ballotlemfc0  29327  ballotlemfcc  29328  subfaclim  29913  erdsze2lem2  29929  cvmliftlem7  30016  cvmliftlem10  30019  relowlssretop  31724  poimirlem1  31899  poimirlem2  31900  poimirlem3  31901  poimirlem4  31902  poimirlem6  31904  poimirlem7  31905  poimirlem8  31906  poimirlem9  31907  poimirlem10  31908  poimirlem11  31909  poimirlem12  31910  poimirlem15  31913  poimirlem16  31914  poimirlem17  31915  poimirlem19  31917  poimirlem20  31918  poimirlem22  31920  poimirlem23  31921  poimirlem24  31922  poimirlem25  31923  poimirlem28  31926  poimirlem29  31927  poimirlem31  31929  mblfinlem2  31936  itg2addnclem2  31952  isbnd3  32074  eldioph2lem1  35565  pell14qrgapw  35686  rmygeid  35778  monoords  37400  ioodvbdlimc1lem1  37667  ioodvbdlimc1lem2  37668  ioodvbdlimc1lem1OLD  37669  ioodvbdlimc1lem2OLD  37670  ioodvbdlimc2lem  37672  ioodvbdlimc2lemOLD  37673  dvnxpaek  37681  dvnmul  37682  iblspltprt  37714  itgspltprt  37720  wallispilem5  37795  stirlinglem1  37800  stirlinglem3  37802  stirlinglem5  37804  stirlinglem6  37805  stirlinglem7  37806  stirlinglem10  37809  fourierdlem11  37844  fourierdlem12  37845  fourierdlem20  37853  fourierdlem30  37863  fourierdlem50  37884  fourierdlem54  37888  fourierdlem64  37898  fourierdlem65  37899  fourierdlem76  37910  fourierdlem77  37911  fourierdlem79  37913  fourierdlem102  37936  fourierdlem103  37937  fourierdlem104  37938  fourierdlem114  37948  etransclem46  38009  caratheodorylem1  38170  perfectALTVlem2  38600  nno  39672  aacllem  39884
  Copyright terms: Public domain W3C validator