MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Unicode version

Theorem ltp1d 10465
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltp1d  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltp1 10369 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797
This theorem is referenced by:  zltp1le  10901  rpnnen1lem5  11201  fznatpl1  11723  fzonn0p1  11849  seqf1olem1  12102  seqf1olem2  12103  bernneq3  12249  expmulnbnd  12253  discr1  12257  discr  12258  bcp1nk  12350  bcpasc  12354  hashfun  12448  seqcoll  12465  seqcoll2  12466  o1rlimmul  13390  fsum1p  13517  climcndslem2  13614  mertenslem1  13645  sqr2irr  13832  iserodd  14207  prmreclem4  14285  prmreclem5  14286  4sqlem11  14321  vdwlem6  14352  vdwlem11  14357  vdwlem12  14358  sylow1lem1  16407  efgsfo  16546  efgred  16555  telgsums  16806  srgbinomlem3  16974  icopnfcnv  21170  cnheibor  21183  pjthlem1  21580  ovolicopnf  21663  uniioombllem3  21722  dvfsumrlim  22160  plyco0  22317  vieta1lem2  22434  mtest  22526  itgulm  22530  psercnlem1  22547  psercn  22548  abelthlem2  22554  abelthlem7  22560  logcnlem4  22747  atanlogsublem  22967  birthdaylem2  23003  efrlim  23020  fsumharmonic  23062  ftalem5  23071  basellem1  23075  basellem3  23077  ppiprm  23146  chtprm  23148  chtdif  23153  ppidif  23158  chtub  23208  perfectlem2  23226  lgsquadlem2  23351  dchrisum0lem1b  23421  dchrisum0lem3  23425  pntrlog2bndlem6  23489  pntpbnd1  23492  pntpbnd2  23493  pntlemc  23501  pntlemf  23511  ostth2lem1  23524  ostth2lem3  23541  axlowdimlem16  23929  wwlknredwwlkn  24388  wwlkext2clwwlk  24465  eupap1  24638  eupath2lem3  24641  smcnlem  25133  pjhthlem1  25835  esumpmono  27575  oddpwdc  27783  ballotlemfc0  27921  ballotlemfcc  27922  subfaclim  28122  erdsze2lem2  28138  cvmliftlem7  28226  cvmliftlem10  28229  fprodntriv  28501  fprod1p  28524  fprodeq0  28532  binomfallfaclem2  28589  fallfacval4  28592  mblfinlem2  29480  itg2addnclem2  29495  isbnd3  29734  eldioph2lem1  30148  pell14qrgapw  30267  rmygeid  30357  monoords  30892  ioodvbdlimc1lem1  31080  ioodvbdlimc1lem2  31081  ioodvbdlimc2lem  31083  iblspltprt  31110  itgspltprt  31116  wallispilem5  31188  stirlinglem1  31193  stirlinglem3  31195  stirlinglem5  31197  stirlinglem6  31198  stirlinglem7  31199  stirlinglem10  31202  fourierdlem11  31237  fourierdlem12  31238  fourierdlem20  31246  fourierdlem30  31256  fourierdlem45  31271  fourierdlem50  31276  fourierdlem54  31280  fourierdlem64  31290  fourierdlem65  31291  fourierdlem76  31302  fourierdlem77  31303  fourierdlem79  31305  fourierdlem103  31329  fourierdlem104  31330
  Copyright terms: Public domain W3C validator