MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Unicode version

Theorem ltp1d 10364
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltp1d  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltp1 10268 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1758   class class class wbr 4390  (class class class)co 6190   RRcr 9382   1c1 9384    + caddc 9386    < clt 9519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-er 7201  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699
This theorem is referenced by:  zltp1le  10795  rpnnen1lem5  11084  fznatpl1  11611  fzonn0p1  11710  seqf1olem1  11946  seqf1olem2  11947  bernneq3  12093  expmulnbnd  12097  discr1  12101  discr  12102  bcp1nk  12194  bcpasc  12198  hashfun  12301  seqcoll  12318  seqcoll2  12319  o1rlimmul  13198  fsum1p  13324  climcndslem2  13415  mertenslem1  13446  sqr2irr  13633  iserodd  14004  prmreclem4  14082  prmreclem5  14083  4sqlem11  14118  vdwlem6  14149  vdwlem11  14154  vdwlem12  14155  sylow1lem1  16201  efgsfo  16340  efgred  16349  srgbinomlem3  16746  icopnfcnv  20630  cnheibor  20643  pjthlem1  21040  ovolicopnf  21123  uniioombllem3  21181  dvfsumrlim  21619  plyco0  21776  vieta1lem2  21893  mtest  21985  itgulm  21989  psercnlem1  22006  psercn  22007  abelthlem2  22013  abelthlem7  22019  logcnlem4  22206  atanlogsublem  22426  birthdaylem2  22462  efrlim  22479  fsumharmonic  22521  ftalem5  22530  basellem1  22534  basellem3  22536  ppiprm  22605  chtprm  22607  chtdif  22612  ppidif  22617  chtub  22667  perfectlem2  22685  lgsquadlem2  22810  dchrisum0lem1b  22880  dchrisum0lem3  22884  pntrlog2bndlem6  22948  pntpbnd1  22951  pntpbnd2  22952  pntlemc  22960  pntlemf  22970  ostth2lem1  22983  ostth2lem3  23000  axlowdimlem16  23338  eupap1  23732  eupath2lem3  23735  smcnlem  24227  pjhthlem1  24929  esumpmono  26662  oddpwdc  26871  ballotlemfc0  27009  ballotlemfcc  27010  subfaclim  27210  erdsze2lem2  27226  cvmliftlem7  27314  cvmliftlem10  27317  fprodntriv  27589  fprod1p  27612  fprodeq0  27620  binomfallfaclem2  27677  fallfacval4  27680  mblfinlem2  28567  itg2addnclem2  28582  isbnd3  28821  eldioph2lem1  29236  pell14qrgapw  29355  rmygeid  29445  wallispilem5  30002  stirlinglem1  30007  stirlinglem3  30009  stirlinglem5  30011  stirlinglem6  30012  stirlinglem7  30013  stirlinglem10  30016  wwlknredwwlkn  30496  wwlkext2clwwlk  30603  telescgsum  30955
  Copyright terms: Public domain W3C validator