MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Unicode version

Theorem ltp1d 10250
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltp1d  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltp1 10154 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   RRcr 9268   1c1 9270    + caddc 9272    < clt 9405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411  df-sub 9584  df-neg 9585
This theorem is referenced by:  zltp1le  10681  rpnnen1lem5  10970  fznatpl1  11494  fzonn0p1  11592  seqf1olem1  11828  seqf1olem2  11829  bernneq3  11975  expmulnbnd  11979  discr1  11983  discr  11984  bcp1nk  12076  bcpasc  12080  hashfun  12182  seqcoll  12199  seqcoll2  12200  o1rlimmul  13079  fsum1p  13205  climcndslem2  13295  mertenslem1  13326  sqr2irr  13513  iserodd  13884  prmreclem4  13962  prmreclem5  13963  4sqlem11  13998  vdwlem6  14029  vdwlem11  14034  vdwlem12  14035  sylow1lem1  16076  efgsfo  16215  efgred  16224  icopnfcnv  20355  cnheibor  20368  pjthlem1  20765  ovolicopnf  20848  uniioombllem3  20906  dvfsumrlim  21344  plyco0  21544  vieta1lem2  21661  mtest  21753  itgulm  21757  psercnlem1  21774  psercn  21775  abelthlem2  21781  abelthlem7  21787  logcnlem4  21974  atanlogsublem  22194  birthdaylem2  22230  efrlim  22247  fsumharmonic  22289  ftalem5  22298  basellem1  22302  basellem3  22304  ppiprm  22373  chtprm  22375  chtdif  22380  ppidif  22385  chtub  22435  perfectlem2  22453  lgsquadlem2  22578  dchrisum0lem1b  22648  dchrisum0lem3  22652  pntrlog2bndlem6  22716  pntpbnd1  22719  pntpbnd2  22720  pntlemc  22728  pntlemf  22738  ostth2lem1  22751  ostth2lem3  22768  axlowdimlem16  23025  eupap1  23419  eupath2lem3  23422  smcnlem  23914  pjhthlem1  24616  esumpmono  26381  oddpwdc  26584  ballotlemfc0  26722  ballotlemfcc  26723  subfaclim  26923  erdsze2lem2  26939  cvmliftlem7  27027  cvmliftlem10  27030  fprodntriv  27301  fprod1p  27324  fprodeq0  27332  binomfallfaclem2  27389  fallfacval4  27392  mblfinlem2  28270  itg2addnclem2  28285  isbnd3  28524  eldioph2lem1  28940  pell14qrgapw  29059  rmygeid  29149  wallispilem5  29707  stirlinglem1  29712  stirlinglem3  29714  stirlinglem5  29716  stirlinglem6  29717  stirlinglem7  29718  stirlinglem10  29721  wwlknredwwlkn  30201  wwlkext2clwwlk  30308
  Copyright terms: Public domain W3C validator