MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltp1d Structured version   Unicode version

Theorem ltp1d 10255
Description: A number is less than itself plus 1. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltp1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltp1d  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )

Proof of Theorem ltp1d
StepHypRef Expression
1 ltp1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltp1 10159 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
31, 2syl 16 1  |-  ( ph  ->  A  <  ( A  +  1 ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1756   class class class wbr 4287  (class class class)co 6086   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    < clt 9410
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-er 7093  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590
This theorem is referenced by:  zltp1le  10686  rpnnen1lem5  10975  fznatpl1  11502  fzonn0p1  11601  seqf1olem1  11837  seqf1olem2  11838  bernneq3  11984  expmulnbnd  11988  discr1  11992  discr  11993  bcp1nk  12085  bcpasc  12089  hashfun  12191  seqcoll  12208  seqcoll2  12209  o1rlimmul  13088  fsum1p  13214  climcndslem2  13305  mertenslem1  13336  sqr2irr  13523  iserodd  13894  prmreclem4  13972  prmreclem5  13973  4sqlem11  14008  vdwlem6  14039  vdwlem11  14044  vdwlem12  14045  sylow1lem1  16088  efgsfo  16227  efgred  16236  srgbinomlem3  16630  icopnfcnv  20494  cnheibor  20507  pjthlem1  20904  ovolicopnf  20987  uniioombllem3  21045  dvfsumrlim  21483  plyco0  21640  vieta1lem2  21757  mtest  21849  itgulm  21853  psercnlem1  21870  psercn  21871  abelthlem2  21877  abelthlem7  21883  logcnlem4  22070  atanlogsublem  22290  birthdaylem2  22326  efrlim  22343  fsumharmonic  22385  ftalem5  22394  basellem1  22398  basellem3  22400  ppiprm  22469  chtprm  22471  chtdif  22476  ppidif  22481  chtub  22531  perfectlem2  22549  lgsquadlem2  22674  dchrisum0lem1b  22744  dchrisum0lem3  22748  pntrlog2bndlem6  22812  pntpbnd1  22815  pntpbnd2  22816  pntlemc  22824  pntlemf  22834  ostth2lem1  22847  ostth2lem3  22864  axlowdimlem16  23171  eupap1  23565  eupath2lem3  23568  smcnlem  24060  pjhthlem1  24762  esumpmono  26497  oddpwdc  26706  ballotlemfc0  26844  ballotlemfcc  26845  subfaclim  27045  erdsze2lem2  27061  cvmliftlem7  27149  cvmliftlem10  27152  fprodntriv  27424  fprod1p  27447  fprodeq0  27455  binomfallfaclem2  27512  fallfacval4  27515  mblfinlem2  28400  itg2addnclem2  28415  isbnd3  28654  eldioph2lem1  29069  pell14qrgapw  29188  rmygeid  29278  wallispilem5  29835  stirlinglem1  29840  stirlinglem3  29842  stirlinglem5  29844  stirlinglem6  29845  stirlinglem7  29846  stirlinglem10  29849  wwlknredwwlkn  30329  wwlkext2clwwlk  30436
  Copyright terms: Public domain W3C validator