MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnri Structured version   Unicode version

Theorem ltnri 9689
Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Hypothesis
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
Assertion
Ref Expression
ltnri  |-  -.  A  <  A

Proof of Theorem ltnri
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ltnr 9675 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
31, 2ax-mp 5 1  |-  -.  A  <  A
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    e. wcel 1767   class class class wbr 4447   RRcr 9487    < clt 9624
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629
This theorem is referenced by:  lt0ne0d  10114  prodgt0  10383  elnnnn0b  10836  0nrp  11246  geolim  13635  geolim2  13636  georeclim  13637  geoisum1c  13645  dscopn  20826  logcnlem3  22750  jensen  23043  ostth  23549  gxnval  24935  signswch  28155  signlem0  28181  pell1qrgaplem  30411  0rngnnzr  32031  ex-gt  32203
  Copyright terms: Public domain W3C validator