MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnlei Structured version   Unicode version

Theorem ltnlei 9487
Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
ltnlei  |-  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )

Proof of Theorem ltnlei
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . 3  |-  B  e.  RR
2 lt.1 . . 3  |-  A  e.  RR
31, 2lenlti 9486 . 2  |-  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B )
43con2bii 332 1  |-  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    e. wcel 1756   class class class wbr 4287   RRcr 9273    < clt 9410    <_ cle 9411
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pr 4526
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-rab 2719  df-v 2969  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-br 4288  df-opab 4346  df-xp 4841  df-cnv 4843  df-xr 9414  df-le 9416
This theorem is referenced by:  letrii  9491  fzpreddisj  11496  hashnn0n0nn  12145  hashge2el2dif  12176  n2dvds1  13574  divalglem5  13593  divalglem6  13594  sadcadd  13646  strlemor1  14257  htpycc  20527  pco1  20562  pcohtpylem  20566  pcopt  20569  pcopt2  20570  pcoass  20571  pcorevlem  20573  vitalilem5  21067  vieta1lem2  21752  ppiltx  22490  ppiublem1  22516  chtub  22526  axlowdimlem16  23154  axlowdim  23158  spthispth  23423  rnlogblem  26410  ballotlem2  26823  subfacp1lem1  27019  subfacp1lem5  27024  fdc  28594  pellexlem6  29128  jm2.23  29298
  Copyright terms: Public domain W3C validator