MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnlei Structured version   Unicode version

Theorem ltnlei 9599
Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
ltnlei  |-  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )

Proof of Theorem ltnlei
StepHypRef Expression
1 lt.2 . . 3  |-  B  e.  RR
2 lt.1 . . 3  |-  A  e.  RR
31, 2lenlti 9598 . 2  |-  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B )
43con2bii 332 1  |-  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    e. wcel 1758   class class class wbr 4393   RRcr 9385    < clt 9522    <_ cle 9523
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pr 4632
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-rab 2804  df-v 3073  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-nul 3739  df-if 3893  df-sn 3979  df-pr 3981  df-op 3985  df-br 4394  df-opab 4452  df-xp 4947  df-cnv 4949  df-xr 9526  df-le 9528
This theorem is referenced by:  letrii  9603  fzpreddisj  11614  hashnn0n0nn  12264  hashge2el2dif  12295  n2dvds1  13693  divalglem5  13712  divalglem6  13713  sadcadd  13765  strlemor1  14376  htpycc  20677  pco1  20712  pcohtpylem  20716  pcopt  20719  pcopt2  20720  pcoass  20721  pcorevlem  20723  vitalilem5  21218  vieta1lem2  21903  ppiltx  22641  ppiublem1  22667  chtub  22677  axlowdimlem16  23348  axlowdim  23352  spthispth  23617  rnlogblem  26596  ballotlem2  27008  subfacp1lem1  27204  subfacp1lem5  27209  fdc  28782  pellexlem6  29316  jm2.23  29486
  Copyright terms: Public domain W3C validator