MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnled Structured version   Unicode version

Theorem ltnled 9526
Description: 'Less than' in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltnled  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem ltnled
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltnle 9459 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
41, 2, 3syl2anc 661 1  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    e. wcel 1756   class class class wbr 4297   RRcr 9286    < clt 9423    <_ cle 9424
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pr 4536
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-nul 3643  df-if 3797  df-sn 3883  df-pr 3885  df-op 3889  df-br 4298  df-opab 4356  df-xp 4851  df-cnv 4853  df-xr 9427  df-le 9429
This theorem is referenced by:  ltsub1  9840  ltsub2  9841  0mnnnnn0  10617  fzodisj  11588  elfznelfzob  11636  sqrlem7  12743  sqrlt  12756  lo1bdd2  13007  isercoll  13150  fzm1ndvds  13590  fzo0dvdseq  13591  bitsfzolem  13635  bitsfzo  13636  sadcaddlem  13658  smuval2  13683  bezoutlem3  13729  isprm5  13803  odzdvds  13872  pc2dvds  13950  pockthg  13972  prmreclem1  13982  prmreclem5  13986  1arith  13993  4sqlem11  14021  vdwlem6  14052  vdwlem11  14057  ramlb  14085  oddvds  16055  gexdvds  16088  sylow1lem3  16104  coe1tmmul2  17734  zringlpirlem3  17910  zlpirlem3  17915  iccntr  20403  icccmplem2  20405  reconnlem2  20409  evth  20536  lebnumlem3  20540  nmoleub2lem3  20675  minveclem3b  20920  minveclem4  20924  pmltpclem2  20938  ovolgelb  20968  ovolicc2lem2  21006  ovolicc2lem4  21008  mbfposr  21135  itg2const2  21224  itg2cnlem2  21245  itg2cn  21246  plyco0  21665  coeeulem  21697  dgradd2  21740  pilem3  21923  cxplt2  22148  fsumharmonic  22410  ftalem3  22417  ftalem5  22419  ftalem7  22421  ppiprm  22494  chtprm  22496  chpub  22564  perfectlem2  22574  bposlem1  22628  lgsdilem2  22675  lgsqrlem2  22686  lgsquadlem2  22699  2sqblem  22721  pntpbnd1  22840  pntlem3  22863  eupath2lem3  23605  minvecolem4  24286  minvecolem5  24287  mul2lt0bi  26047  nndiffz1  26080  lmdvg  26388  eulerpartlems  26748  ballotlemfc0  26880  ballotlemfcc  26881  ballotlemrv2  26909  signsply0  26957  dmlogdmgm  27015  lgamgulmlem1  27020  lgamucov  27029  erdszelem8  27091  fzp1nel  27402  fprodntriv  27460  mblfinlem2  28434  itg2addnclem  28448  itg2addnclem2  28449  itg2addnclem3  28450  iblabsnclem  28460  ftc1anclem5  28476  areacirclem4  28492  areacirclem5  28493  areacirc  28494  cntotbnd  28700  elpell1qr2  29218  pellfundglb  29231  pellfund14gap  29233  congabseq  29322  jm2.19  29347  jm2.26lem3  29355  dgraa0p  29511  stoweidlem26  29826  stoweidlem34  29834  stoweidlem59  29859  stirlinglem5  29878  clwwlkgt0  30439  erclwwlktr0  30484  frgrareggt1  30714
  Copyright terms: Public domain W3C validator