MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnle Structured version   Unicode version

Theorem ltnle 9450
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltnle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem ltnle
StepHypRef Expression
1 lenlt 9449 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
21ancoms 450 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
32con2bid 329 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1761   class class class wbr 4289   RRcr 9277    < clt 9414    <_ cle 9415
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pr 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-br 4290  df-opab 4348  df-xp 4842  df-cnv 4844  df-xr 9418  df-le 9420
This theorem is referenced by:  letric  9471  ltnled  9517  leaddsub  9811  mulge0b  10195  nn0n0n1ge2b  10640  znnnlt1  10669  uzwo  10913  uzwoOLD  10914  qsqueeze  11167  difreicc  11413  fzp1disj  11511  fzneuz  11537  fznuz  11538  uznfz  11539  ssfzoulel  11617  elfzonelfzo  11623  discr1  11996  facdiv  12059  bcval5  12090  wrdsymb0  12255  ccatsymb  12277  swrdnd  12322  swrdvalodm2  12329  swrdspsleq  12338  swrdccat3  12379  repswswrd  12418  cnpart  12725  absmax  12813  rlimrege0  13053  znnenlem  13490  rpnnen2  13504  alzdvds  13579  algcvgblem  13748  pcprendvds  13903  pcdvdsb  13931  pcmpt  13950  prmunb  13971  prmreclem2  13974  prmlem1  14131  prmlem2  14143  lt6abl  16364  metdseq0  20330  xrhmeo  20418  ovolicc2lem3  20902  itg2seq  21120  dvne0  21383  coeeulem  21635  radcnvlt1  21826  argimgt0  22004  cxple2  22085  ressatans  22272  basellem2  22362  issqf  22417  bpos1  22565  bposlem3  22568  bposlem6  22571  pntpbnd2  22779  ostth2lem4  22828  eldmgm  26922  ltflcei  28328  mblfinlem1  28337  mbfposadd  28348  itgaddnclem2  28360  ftc1anclem1  28376  ftc1anclem5  28380  dvasin  28389  stoweidlem14  29718  stoweidlem34  29738  ltnltne  30085  difelfznle  30397
  Copyright terms: Public domain W3C validator