MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnle Structured version   Unicode version

Theorem ltnle 9575
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Jul-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltnle  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)

Proof of Theorem ltnle
StepHypRef Expression
1 lenlt 9574 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
21ancoms 451 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  <->  -.  A  <  B ) )
32con2bid 327 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    e. wcel 1826   class class class wbr 4367   RRcr 9402    < clt 9539    <_ cle 9540
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pr 4601
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-ral 2737  df-rex 2738  df-rab 2741  df-v 3036  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-nul 3712  df-if 3858  df-sn 3945  df-pr 3947  df-op 3951  df-br 4368  df-opab 4426  df-xp 4919  df-cnv 4921  df-xr 9543  df-le 9545
This theorem is referenced by:  letric  9596  ltnled  9643  leaddsub  9946  mulge0b  10329  nnnle0  10483  nn0n0n1ge2b  10777  znnnlt1  10808  uzwo  11064  qsqueeze  11321  difreicc  11573  fzp1disj  11660  fzneuz  11681  fznuz  11682  uznfz  11683  difelfznle  11711  nelfzo  11727  ssfzoulel  11805  elfzonelfzo  11811  ssnn0fi  11997  discr1  12204  facdiv  12267  bcval5  12298  ccatsymb  12509  swrdnd  12568  swrdsbslen  12584  swrdspsleq  12585  swrdccat3  12628  repswswrd  12667  cnpart  13075  absmax  13164  rlimrege0  13404  znnenlem  13947  rpnnen2  13961  alzdvds  14038  algcvgblem  14208  pcprendvds  14366  pcdvdsb  14394  pcmpt  14413  prmunb  14434  prmreclem2  14437  prmlem1  14595  prmlem2  14607  lt6abl  17014  metdseq0  21443  xrhmeo  21531  ovolicc2lem3  22015  itg2seq  22234  dvne0  22497  coeeulem  22706  radcnvlt1  22898  argimgt0  23084  cxple2  23165  ressatans  23381  basellem2  23472  issqf  23527  bpos1  23675  bposlem3  23678  bposlem6  23681  pntpbnd2  23889  ostth2lem4  23938  eldmgm  28753  ltflcei  30208  mblfinlem1  30216  mbfposadd  30227  itgaddnclem2  30240  ftc1anclem1  30256  ftc1anclem5  30260  dvasin  30269  icccncfext  31856  stoweidlem14  31962  stoweidlem34  31982  pfxccat3  32601  pfxccat3a  32604  ltnltne  32642  ply1mulgsumlem2  33187
  Copyright terms: Public domain W3C validator