MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnei Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltnei 9758
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1  |-  A  e.  RR
lt.2  |-  B  e.  RR
Assertion
Ref Expression
ltnei  |-  ( A  <  B  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem ltnei
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2  |-  A  e.  RR
2 ltne 9730 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
31, 2mpan 676 1  |-  ( A  <  B  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1887    =/= wne 2622   class class class wbr 4402   RRcr 9538    < clt 9675
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-ltxr 9680
This theorem is referenced by:  gt0ne0i  10149  nn0opthlem2  12455  hashtpg  12641  sralem  18400  cchhllem  24917  structvtxvallem  39122  structvtxval  39123
  Copyright terms: Public domain W3C validator