MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltneg Structured version   Unicode version

Theorem ltneg 10041
Description: Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Assertion
Ref Expression
ltneg  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -u B  <  -u A
) )

Proof of Theorem ltneg
StepHypRef Expression
1 0re 9585 . . 3  |-  0  e.  RR
2 ltsub2 10038 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( 0  -  B )  < 
( 0  -  A
) ) )
31, 2mp3an3 1308 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( 0  -  B )  <  ( 0  -  A ) ) )
4 df-neg 9797 . . 3  |-  -u B  =  ( 0  -  B )
5 df-neg 9797 . . 3  |-  -u A  =  ( 0  -  A )
64, 5breq12i 4449 . 2  |-  ( -u B  <  -u A  <->  ( 0  -  B )  < 
( 0  -  A
) )
73, 6syl6bbr 263 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -u B  <  -u A
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1762   class class class wbr 4440  (class class class)co 6275   RRcr 9480   0cc0 9481    < clt 9617    - cmin 9794   -ucneg 9795
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797
This theorem is referenced by:  ltnegcon1  10042  ltnegcon2  10043  lt0neg1  10047  lt0neg2  10048  ltord2  10071  leord2  10072  eqord2  10073  ltnegi  10086  ltnegd  10119  infm3  10491  negiso  10508  rebtwnz  11170  xltnegi  11404  iooneg  11629  logcj  22712  logcnlem3  22746  asinneg  22938  ltflcei  29606  fourierdlem44  31406
  Copyright terms: Public domain W3C validator