Theorem ltned 9738

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltned.2	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltned	|- ( ph -> A =/= B )

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltned.2	. . 3 |- ( ph -> A < B )
3	1, 2	gtned 9737	. 2 |- ( ph -> B =/= A )
4	3	necomd 2728	1 |- ( ph -> A =/= B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1819   =/= wne 2652   class class class wbr 4456   RRcr 9508   < clt 9645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-resscn 9566  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-ltxr 9650

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  12149  nprm  14243  4sqlem10  14477  4sqlem17  14491  pgpfaclem2  17260  fvmptnn04ifb  19479  dvferm2lem  22513  lhop2  22542  ftc1lem5  22567  deg1tmle  22644  plyeq0lem  22733  aaliou3lem7  22871  dvloglem  23155  isosctrlem1  23278  bndatandm  23386  vma1  23566  rplogsumlem2  23796  rpvmasumlem  23798  axlowdimlem13  24384  axlowdimlem16  24387  nbhashuvtx1  25042  strlem6  27302  hstrlem6  27310  xrge0iifcnv  28076  erdszelem8  28839  ivthALT  30358  radcnvrat  31399  lptre2pt  31849  cncfiooicclem1  31899  cncfioobdlem  31902  ditgeqiooicc  31962  itgioocnicc  31979  iblcncfioo  31980  stirlinglem7  32065  fourierdlem34  32126  fourierdlem42  32134  fourierdlem54  32146  fourierdlem60  32152  fourierdlem73  32165  fourierdlem74  32166  fourierdlem76  32168  fourierdlem81  32173  fourierdlem82  32174  fourierdlem84  32176  fourierdlem93  32185  fourierdlem103  32195  fourierdlem104  32196  fourierdlem111  32203  fourierswlem  32216  isosctrlem1ALT  33877