Theorem ltned 9597

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltned.2	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltned	|- ( ph -> A =/= B )

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltned.2	. . 3 |- ( ph -> A < B )
3	1, 2	gtned 9596	. 2 |- ( ph -> B =/= A )
4	3	necomd 2716	1 |- ( ph -> A =/= B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1757   =/= wne 2641   class class class wbr 4376   RRcr 9368   < clt 9505

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1709  ax-7 1729  ax-8 1759  ax-9 1761  ax-10 1776  ax-11 1781  ax-12 1793  ax-13 1944  ax-ext 2429  ax-sep 4497  ax-nul 4505  ax-pow 4554  ax-pr 4615  ax-un 6458  ax-resscn 9426  ax-pre-lttri 9443  ax-pre-lttrn 9444

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1702  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2436  df-cleq 2442  df-clel 2445  df-nfc 2598  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2797  df-rex 2798  df-rab 2801  df-v 3056  df-sbc 3271  df-csb 3373  df-dif 3415  df-un 3417  df-in 3419  df-ss 3426  df-nul 3722  df-if 3876  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-op 3968  df-uni 4176  df-br 4377  df-opab 4435  df-mpt 4436  df-id 4720  df-po 4725  df-so 4726  df-xp 4930  df-rel 4931  df-cnv 4932  df-co 4933  df-dm 4934  df-rn 4935  df-res 4936  df-ima 4937  df-iota 5465  df-fun 5504  df-fn 5505  df-f 5506  df-f1 5507  df-fo 5508  df-f1o 5509  df-fv 5510  df-er 7187  df-en 7397  df-dom 7398  df-sdom 7399  df-pnf 9507  df-mnf 9508  df-ltxr 9510

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  11932  nprm  13865  4sqlem10  14096  4sqlem17  14110  pgpfaclem2  16674  dvferm2lem  21560  lhop2  21589  ftc1lem5  21614  deg1tmle  21691  plyeq0lem  21780  aaliou3lem7  21917  dvloglem  22195  isosctrlem1  22318  bndatandm  22426  vma1  22606  rplogsumlem2  22836  rpvmasumlem  22838  axlowdimlem13  23321  axlowdimlem16  23324  strlem6  25781  hstrlem6  25789  mul2lt0rlt0  26158  xrge0iifcnv  26483  sgnmul  27045  sgnsub  27047  sgnmulsgn  27052  sgnmulsgp  27053  signsvfpn  27106  signsvfnn  27107  erdszelem8  27206  ivthALT  28654  stirlinglem7  29999  nbhashuvtx1  30657  fvmptnn04ifb  31291  isosctrlem1ALT  31952