Theorem ltned 9716

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	|- ( ph -> A e. RR )
ltned.2	|- ( ph -> A < B )

Assertion

Ref	Expression
ltned	|- ( ph -> A =/= B )

Proof of Theorem ltned

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. . 3 |- ( ph -> A e. RR )
2		ltned.2	. . 3 |- ( ph -> A < B )
3	1, 2	gtned 9715	. 2 |- ( ph -> B =/= A )
4	3	necomd 2738	1 |- ( ph -> A =/= B )

Syntax hints:   -> wi 4   e. wcel 1767   =/= wne 2662   class class class wbr 4447   RRcr 9487   < clt 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629

This theorem is referenced by:  seqf1olem1  12110  nprm  14086  4sqlem10  14320  4sqlem17  14334  pgpfaclem2  16923  fvmptnn04ifb  19119  dvferm2lem  22122  lhop2  22151  ftc1lem5  22176  deg1tmle  22253  plyeq0lem  22342  aaliou3lem7  22479  dvloglem  22757  isosctrlem1  22880  bndatandm  22988  vma1  23168  rplogsumlem2  23398  rpvmasumlem  23400  axlowdimlem13  23933  axlowdimlem16  23936  nbhashuvtx1  24591  strlem6  26851  hstrlem6  26859  mul2lt0rlt0  27233  xrge0iifcnv  27551  sgnmul  28121  sgnsub  28123  sgnmulsgn  28128  sgnmulsgp  28129  signsvfpn  28182  signsvfnn  28183  erdszelem8  28282  ivthALT  29730  lptre2pt  31182  cncfiooicclem1  31232  cncfioobdlem  31235  ditgeqiooicc  31278  itgioocnicc  31295  stirlinglem7  31380  fourierdlem34  31441  fourierdlem42  31449  fourierdlem54  31461  fourierdlem60  31467  fourierdlem73  31480  fourierdlem74  31481  fourierdlem76  31483  fourierdlem81  31488  fourierdlem82  31489  fourierdlem84  31491  fourierdlem93  31500  fourierdlem103  31510  fourierdlem104  31511  fourierdlem111  31518  fourierswlem  31531  isosctrlem1ALT  32814