MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltne Structured version   Unicode version

Theorem ltne 9681
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltne  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )

Proof of Theorem ltne
StepHypRef Expression
1 ltnr 9679 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  -.  A  <  A )
2 breq2 4451 . . . . 5  |-  ( B  =  A  ->  ( A  <  B  <->  A  <  A ) )
32notbid 294 . . . 4  |-  ( B  =  A  ->  ( -.  A  <  B  <->  -.  A  <  A ) )
41, 3syl5ibrcom 222 . . 3  |-  ( A  e.  RR  ->  ( B  =  A  ->  -.  A  <  B ) )
54necon2ad 2680 . 2  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  <  B  ->  B  =/=  A ) )
65imp 429 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   class class class wbr 4447   RRcr 9491    < clt 9628
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-resscn 9549  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-ltxr 9633
This theorem is referenced by:  ltneOLD  9682  gtneii  9696  ltnei  9708  gtned  9719  gt0ne0  10017  lt0ne0  10018  gt0ne0d  10117  cshwshashlem1  14438  chfacffsupp  19152  chfacfscmul0  19154  chfacfscmulgsum  19156  chfacfpmmul0  19158  chfacfpmmulgsum  19160  axlowdimlem16  23964  nvnencycllem  24347  frgraogt3nreg  24825  staddi  26869  eulerpartlems  27967  tan2h  29652  ftc1cnnc  29694  fdc  29869  iblcncfioo  31324  dirkerre  31423  dirkertrigeqlem1  31426  dirkercncflem4  31434  fourierdlem16  31451  fourierdlem21  31456  fourierdlem22  31457  fourierdlem83  31518  fourierdlem103  31538  fourierdlem104  31539  sineq0ALT  32835
  Copyright terms: Public domain W3C validator