MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmulgt11 Structured version   Unicode version

Theorem ltmulgt11 10442
Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmulgt11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem ltmulgt11
StepHypRef Expression
1 1re 9624 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2 ltmul2 10433 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B ) ) )
31, 2mp3an1 1313 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( 1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
433impb 1193 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
543com12 1201 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
6 ax-1rid 9591 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
763ad2ant1 1018 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
87breq1d 4404 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
95, 8bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   class class class wbr 4394  (class class class)co 6277   RRcr 9520   0cc0 9521   1c1 9522    x. cmul 9526    < clt 9657
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-op 3978  df-uni 4191  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-er 7347  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-ltxr 9662  df-sub 9842  df-neg 9843
This theorem is referenced by:  ltmulgt12  10443  ltmulgt11d  11334  eflt  14059  nprm  14438  isprm5  14460  ltrmxnn0  35228  jm3.1lem2  35302
  Copyright terms: Public domain W3C validator