MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmulgt11 Structured version   Unicode version

Theorem ltmulgt11 10301
Description: Multiplication by a number greater than 1. (Contributed by NM, 24-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmulgt11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )

Proof of Theorem ltmulgt11
StepHypRef Expression
1 1re 9497 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2 ltmul2 10292 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  -> 
( 1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B ) ) )
31, 2mp3an1 1302 . . . 4  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  0  <  A ) )  ->  ( 1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
433impb 1184 . . 3  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
543com12 1192 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  ( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )
) )
6 ax-1rid 9464 . . . 4  |-  ( A  e.  RR  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
763ad2ant1 1009 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  ( A  x.  1 )  =  A )
87breq1d 4411 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
( A  x.  1 )  <  ( A  x.  B )  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
95, 8bitrd 253 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  0  <  A )  ->  (
1  <  B  <->  A  <  ( A  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   class class class wbr 4401  (class class class)co 6201   RRcr 9393   0cc0 9394   1c1 9395    x. cmul 9399    < clt 9530
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-op 3993  df-uni 4201  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-er 7212  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-ltxr 9535  df-sub 9709  df-neg 9710
This theorem is referenced by:  ltmulgt12  10302  ltmulgt11d  11170  eflt  13520  nprm  13896  isprm5  13917  ltrmxnn0  29441  jm3.1lem2  29516
  Copyright terms: Public domain W3C validator