Theorem ltmul2 10167

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem ltmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1 10166	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( A x. C ) < ( B x. C ) ) )
2		recn 9359	. . . 4 |- ( C e. RR -> C e. CC )
3		recn 9359	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		mulcom 9355	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
5	3, 4	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
6	5	3adant2 1000	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
7		recn 9359	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8		mulcom 9355	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
9	7, 8	sylan 468	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
10	9	3adant1 999	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
11	6, 10	breq12d 4293	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
12	2, 11	syl3an3 1246	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
13	12	3adant3r 1208	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
14	1, 13	bitrd 253	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 958   = wceq 1362   e. wcel 1755   class class class wbr 4280  (class class class)co 6080   CCcc 9267   RRcr 9268   0cc0 9269   x. cmul 9274   < clt 9405

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-1cn 9327  ax-icn 9328  ax-addcl 9329  ax-addrcl 9330  ax-mulcl 9331  ax-mulrcl 9332  ax-mulcom 9333  ax-addass 9334  ax-mulass 9335  ax-distr 9336  ax-i2m1 9337  ax-1ne0 9338  ax-1rid 9339  ax-rnegex 9340  ax-rrecex 9341  ax-cnre 9342  ax-pre-lttri 9343  ax-pre-lttrn 9344  ax-pre-ltadd 9345  ax-pre-mulgt0 9346

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 959  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-po 4628  df-so 4629  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-riota 6039  df-ov 6083  df-oprab 6084  df-mpt2 6085  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-ltxr 9410  df-sub 9584  df-neg 9585

This theorem is referenced by:  ltmul12a  10172  mulgt1  10175  ltmulgt11  10176  lt2msq1  10202  ltdiv2  10204  ltmul2i  10241  ltmul2d  11052  ef01bndlem  13450  cos01gt0  13457  sin4lt0  13461  iserodd  13884  pockthg  13949  prmreclem1  13959  prmreclem5  13963  blcvx  20216  dvcvx  21333  itgulm  21757  tangtx  21851  chtub  22435  bposlem1  22507  bposlem2  22508  bposlem7  22513  lgsdilem  22545  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  chebbnd1lem3  22604  chto1ub  22609  pntlemb  22730  irrapxlem1  29005  irrapxlem2  29006  irrapxlem5  29009  pellexlem2  29013  rmspecsqrnq  29089  stoweidlem11  29649  stoweidlem26  29664