Theorem ltmul2 10389

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 13-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
ltmul2	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )

Proof of Theorem ltmul2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1 10388	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( A x. C ) < ( B x. C ) ) )
2		recn 9578	. . . 4 |- ( C e. RR -> C e. CC )
3		recn 9578	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> A e. CC )
4		mulcom 9574	. . . . . . 7 |- ( ( A e. CC /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
5	3, 4	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
6	5	3adant2 1015	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( A x. C ) = ( C x. A ) )
7		recn 9578	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B e. CC )
8		mulcom 9574	. . . . . . 7 |- ( ( B e. CC /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
9	7, 8	sylan 471	. . . . . 6 |- ( ( B e. RR /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
10	9	3adant1 1014	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( B x. C ) = ( C x. B ) )
11	6, 10	breq12d 4460	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. CC ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
12	2, 11	syl3an3 1263	. . 3 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ C e. RR ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
13	12	3adant3r 1225	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A x. C ) < ( B x. C ) <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )
14	1, 13	bitrd 253	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( A < B <-> ( C x. A ) < ( C x. B ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   CCcc 9486   RRcr 9487   0cc0 9488   x. cmul 9493   < clt 9624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-ltxr 9629  df-sub 9803  df-neg 9804

This theorem is referenced by:  ltmul12a  10394  mulgt1  10397  ltmulgt11  10398  lt2msq1  10424  ltdiv2  10426  ltmul2i  10463  ltmul2d  11290  ef01bndlem  13776  cos01gt0  13783  sin4lt0  13787  iserodd  14214  pockthg  14279  prmreclem1  14289  prmreclem5  14293  blcvx  21038  dvcvx  22156  itgulm  22537  tangtx  22631  chtub  23215  bposlem1  23287  bposlem2  23288  bposlem7  23293  lgsdilem  23325  lgsquadlem1  23357  lgsquadlem2  23358  chebbnd1lem3  23384  chto1ub  23389  pntlemb  23510  irrapxlem1  30362  irrapxlem2  30363  irrapxlem5  30366  pellexlem2  30370  rmspecsqrtnq  30446  stoweidlem11  31311  stoweidlem26  31326