MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul1ii Structured version   Unicode version

Theorem ltmul1ii 10481
Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 16-May-1999.) (Proof shortened by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)
Hypotheses
Ref Expression
ltplus1.1  |-  A  e.  RR
prodgt0.2  |-  B  e.  RR
ltmul1.3  |-  C  e.  RR
ltmul1i.4  |-  0  <  C
Assertion
Ref Expression
ltmul1ii  |-  ( A  <  B  <->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  C )
)

Proof of Theorem ltmul1ii
StepHypRef Expression
1 ltmul1i.4 . 2  |-  0  <  C
2 ltplus1.1 . . 3  |-  A  e.  RR
3 prodgt0.2 . . 3  |-  B  e.  RR
4 ltmul1.3 . . 3  |-  C  e.  RR
52, 3, 4ltmul1i 10471 . 2  |-  ( 0  <  C  ->  ( A  <  B  <->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  C )
) )
61, 5ax-mp 5 1  |-  ( A  <  B  <->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  C )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    <-> wb 184    e. wcel 1804   class class class wbr 4437  (class class class)co 6281   RRcr 9494   0cc0 9495    x. cmul 9500    < clt 9631
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1605  ax-4 1618  ax-5 1691  ax-6 1734  ax-7 1776  ax-8 1806  ax-9 1808  ax-10 1823  ax-11 1828  ax-12 1840  ax-13 1985  ax-ext 2421  ax-sep 4558  ax-nul 4566  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6577  ax-resscn 9552  ax-1cn 9553  ax-icn 9554  ax-addcl 9555  ax-addrcl 9556  ax-mulcl 9557  ax-mulrcl 9558  ax-mulcom 9559  ax-addass 9560  ax-mulass 9561  ax-distr 9562  ax-i2m1 9563  ax-1ne0 9564  ax-1rid 9565  ax-rnegex 9566  ax-rrecex 9567  ax-cnre 9568  ax-pre-lttri 9569  ax-pre-lttrn 9570  ax-pre-ltadd 9571  ax-pre-mulgt0 9572
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1386  df-ex 1600  df-nf 1604  df-sb 1727  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2593  df-ne 2640  df-nel 2641  df-ral 2798  df-rex 2799  df-reu 2800  df-rab 2802  df-v 3097  df-sbc 3314  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3771  df-if 3927  df-pw 3999  df-sn 4015  df-pr 4017  df-op 4021  df-uni 4235  df-br 4438  df-opab 4496  df-mpt 4497  df-id 4785  df-po 4790  df-so 4791  df-xp 4995  df-rel 4996  df-cnv 4997  df-co 4998  df-dm 4999  df-rn 5000  df-res 5001  df-ima 5002  df-iota 5541  df-fun 5580  df-fn 5581  df-f 5582  df-f1 5583  df-fo 5584  df-f1o 5585  df-fv 5586  df-riota 6242  df-ov 6284  df-oprab 6285  df-mpt2 6286  df-er 7313  df-en 7519  df-dom 7520  df-sdom 7521  df-pnf 9633  df-mnf 9634  df-ltxr 9636  df-sub 9812  df-neg 9813
This theorem is referenced by:  log2ub  23258  bposlem8  23544  cntotbnd  30268  dirkercncflem1  31839
  Copyright terms: Public domain W3C validator