Theorem ltmul1ii 6794

Description: Multiplication of both sides of 'less than' by a positive number. Theorem I.19 of [Apostol] p. 20. (Proof shortened by Paul Chapman, 25-Jan-2008.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmul1.1	|- A e. RR
ltmul1.2	|- B e. RR
ltmul1.3	|- C e. RR
ltmul1i.4	|- 0 < C

Assertion

Ref	Expression
ltmul1ii	|- (A < B <-> (A x. C) < (B x. C))

Proof of Theorem ltmul1ii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1i.4	. . 3 |- 0 < C
2		ltmul1.1	. . . 4 |- A e. RR
3		ltmul1.2	. . . 4 |- B e. RR
4		ltmul1.3	. . . 4 |- C e. RR
5	2, 3, 4	ltmullem 6620	. . 3 |- (0 < C -> (A < B -> (A x. C) < (B x. C)))
6	1, 5	ax-mp 7	. 2 |- (A < B -> (A x. C) < (B x. C))
7	3, 2, 4	ltmullem 6620	. . . . . . 7 |- (0 < C -> (B < A -> (B x. C) < (A x. C)))
8	1, 7	ax-mp 7	. . . . . 6 |- (B < A -> (B x. C) < (A x. C))
9		opreq1 4700	. . . . . 6 |- (B = A -> (B x. C) = (A x. C))
10	8, 9	orim12i 361	. . . . 5 |- ((B < A \/ B = A) -> ((B x. C) < (A x. C) \/ (B x. C) = (A x. C)))
11	3, 2	leloei 6546	. . . . 5 |- (B <_ A <-> (B < A \/ B = A))
12	3, 4	remulcli 6284	. . . . . 6 |- (B x. C) e. RR
13	2, 4	remulcli 6284	. . . . . 6 |- (A x. C) e. RR
14	12, 13	leloei 6546	. . . . 5 |- ((B x. C) <_ (A x. C) <-> ((B x. C) < (A x. C) \/ (B x. C) = (A x. C)))
15	10, 11, 14	3imtr4i 235	. . . 4 |- (B <_ A -> (B x. C) <_ (A x. C))
16	3, 2	lenlti 6549	. . . 4 |- (B <_ A <-> -. A < B)
17	12, 13	lenlti 6549	. . . 4 |- ((B x. C) <_ (A x. C) <-> -. (A x. C) < (B x. C))
18	15, 16, 17	3imtr3i 234	. . 3 |- (-. A < B -> -. (A x. C) < (B x. C))
19	18	con4i 89	. 2 |- ((A x. C) < (B x. C) -> A < B)
20	6, 19	impbii 173	1 |- (A < B <-> (A x. C) < (B x. C))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 162   \/ wo 238   = wceq 1136   e. wcel 1138   class class class wbr 3158  (class class class)co 4695  RRcr 6181  0cc0 6182   x. cmul 6187   <_ cle 6244   < clt 6449

This theorem is referenced by:  ltmul1i 6795  ltdiv1ii 6796  sqrlem1 7718  sqr2irrlem1 7769  sincos6thpi 9856  efifolem3 9873  efifolem6 9876

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1142  ax-gen 1143  ax-8 1144  ax-9 1145  ax-10 1146  ax-11 1147  ax-12 1148  ax-13 1149  ax-14 1150  ax-17 1155  ax-4 1157  ax-5o 1159  ax-6o 1162  ax-9o 1319  ax-10o 1338  ax-16 1418  ax-11o 1426  ax-ext 1702  ax-rep 3243  ax-sep 3253  ax-nul 3260  ax-pow 3296  ax-pr 3339  ax-un 3601  ax-inf2 5540

This theorem depends on definitions:  df-bi 163  df-or 240  df-an 241  df-3or 856  df-3an 857  df-ex 1165  df-sb 1374  df-eu 1613  df-mo 1614  df-clab 1709  df-cleq 1714  df-clel 1717  df-ne 1856  df-nel 1857  df-ral 1943  df-rex 1944  df-reu 1945  df-rab 1946  df-v 2127  df-sbc 2287  df-csb 2374  df-dif 2430  df-un 2433  df-in 2436  df-ss 2438  df-pss 2440  df-nul 2702  df-if 2807  df-pw 2859  df-sn 2873  df-pr 2874  df-tp 2876  df-op 2877  df-uni 3000  df-int 3037  df-iun 3079  df-br 3159  df-opab 3214  df-tr 3230  df-eprel 3398  df-id 3401  df-po 3406  df-so 3419  df-fr 3440  df-we 3459  df-ord 3475  df-on 3476  df-lim 3477  df-suc 3478  df-om 3761  df-xp 3811  df-rel 3812  df-cnv 3813  df-co 3814  df-dm 3815  df-rn 3816  df-res 3817  df-ima 3818  df-fun 3819  df-fn 3820  df-f 3821  df-f1 3822  df-fo 3823  df-f1o 3824  df-fv 3825  df-opr 4697  df-oprab 4698  df-mpt 4817  df-1st 4831  df-2nd 4832  df-iota 4900  df-rdg 4951  df-1o 4988  df-oadd 4990  df-omul 4991  df-er 5129  df-ec 5131  df-qs 5134  df-en 5238  df-dom 5239  df-sdom 5240  df-undef 5367  df-riota 5371  df-ni 5948  df-pli 5949  df-mi 5950  df-lti 5951  df-plpq 5983  df-mpq 5984  df-enq 5985  df-nq 5986  df-plq 5987  df-mq 5988  df-rq 5989  df-ltq 5990  df-1q 5991  df-np 6034  df-1p 6035  df-plp 6036  df-mp 6037  df-ltp 6038  df-plpr 6112  df-mpr 6113  df-enr 6114  df-nr 6115  df-plr 6116  df-mr 6117  df-ltr 6118  df-0r 6119  df-1r 6120  df-m1r 6121  df-c 6188  df-0 6189  df-1 6190  df-i 6191  df-r 6192  df-plus 6193  df-mul 6194  df-lt 6195  df-sub 6307  df-neg 6309  df-pnf 6450  df-mnf 6451  df-xr 6452  df-ltxr 6453  df-le 6454

Copyright terms: Public domain