MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul12a Structured version   Unicode version

Theorem ltmul12a 10399
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  A  e.  RR )
2 simpllr 758 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  B  e.  RR )
3 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  C  e.  RR )
4 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  0  <_  C )
53, 4jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
65ad2ant2l 745 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
7 ltle 9674 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
87imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  B
)  ->  A  <_  B )
98adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  <_  B )
109ad2ant2r 746 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  A  <_  B
)
11 lemul1a 10397 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1231 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
13 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  C  e.  RR )
14 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  D  e.  RR )
15 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  B  e.  RR )
16 0re 9597 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
17 lelttr 9676 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
1816, 17mp3an1 1311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
1918imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <  B )
2019adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  0  <  B )
21 ltmul2 10394 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( C  <  D  <->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D ) ) )
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1232 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  ( C  <  D  <->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
) )
2322biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  C  < 
D )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )
2423anasss 647 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  C  <  D ) )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )
2524adantrrl 723 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
26 remulcl 9578 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
2726ad2ant2r 746 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( A  x.  C
)  e.  RR )
28 remulcl 9578 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C
)  e.  RR )
2928ad2ant2lr 747 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( B  x.  C
)  e.  RR )
30 remulcl 9578 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
3130ad2ant2l 745 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( B  x.  D
)  e.  RR )
32 lelttr 9676 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR  /\  ( B  x.  D
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D
) ) )
3327, 29, 31, 32syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  <_ 
( B  x.  C
)  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
) )
3433adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D
) ) )
3512, 25, 34mp2and 679 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
3635an4s 824 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6285   RRcr 9492   0cc0 9493    x. cmul 9498    < clt 9629    <_ cle 9630
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-er 7312  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  10488  expmordi  30714
  Copyright terms: Public domain W3C validator