MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltmul12a Structured version   Unicode version

Theorem ltmul12a 10299
Description: Comparison of product of two positive numbers. (Contributed by NM, 30-Dec-2005.)
Assertion
Ref Expression
ltmul12a  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)

Proof of Theorem ltmul12a
StepHypRef Expression
1 simplll 757 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  A  e.  RR )
2 simpllr 758 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  B  e.  RR )
3 simpll 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  C  e.  RR )
4 simprl 755 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  0  <_  C )
53, 4jca 532 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D
) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
65ad2ant2l 745 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C ) )
7 ltle 9577 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
87imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  B
)  ->  A  <_  B )
98adantrl 715 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  A  <_  B )
109ad2ant2r 746 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  A  <_  B
)
11 lemul1a 10297 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <_  C )
)  /\  A  <_  B )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
121, 2, 6, 10, 11syl31anc 1222 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )
)
13 simplrl 759 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  C  e.  RR )
14 simplrr 760 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  D  e.  RR )
15 simpllr 758 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  B  e.  RR )
16 0re 9500 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
17 lelttr 9579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( 0  <_  A  /\  A  <  B )  ->  0  <  B
) )
1816, 17mp3an1 1302 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  0  <  B ) )
1918imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B
) )  ->  0  <  B )
2019adantlr 714 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  0  <  B )
21 ltmul2 10294 . . . . . . 7  |-  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR  /\  ( B  e.  RR  /\  0  <  B ) )  -> 
( C  <  D  <->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D ) ) )
2213, 14, 15, 20, 21syl112anc 1223 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  ->  ( C  <  D  <->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
) )
2322biimpa 484 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( 0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  C  < 
D )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )
2423anasss 647 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  C  <  D ) )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )
2524adantrrl 723 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
26 remulcl 9481 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  x.  C
)  e.  RR )
2726ad2ant2r 746 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( A  x.  C
)  e.  RR )
28 remulcl 9481 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  x.  C
)  e.  RR )
2928ad2ant2lr 747 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( B  x.  C
)  e.  RR )
30 remulcl 9481 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  RR  /\  D  e.  RR )  ->  ( B  x.  D
)  e.  RR )
3130ad2ant2l 745 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( B  x.  D
)  e.  RR )
32 lelttr 9579 . . . . 5  |-  ( ( ( A  x.  C
)  e.  RR  /\  ( B  x.  C
)  e.  RR  /\  ( B  x.  D
)  e.  RR )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D
) ) )
3327, 29, 31, 32syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  -> 
( ( ( A  x.  C )  <_ 
( B  x.  C
)  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
) )
3433adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( ( ( A  x.  C )  <_  ( B  x.  C )  /\  ( B  x.  C )  <  ( B  x.  D
) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D
) ) )
3512, 25, 34mp2and 679 . 2  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR ) )  /\  ( ( 0  <_  A  /\  A  <  B
)  /\  ( 0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
3635an4s 822 1  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  (
0  <_  A  /\  A  <  B ) )  /\  ( ( C  e.  RR  /\  D  e.  RR )  /\  (
0  <_  C  /\  C  <  D ) ) )  ->  ( A  x.  C )  <  ( B  x.  D )
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1758   class class class wbr 4403  (class class class)co 6203   RRcr 9395   0cc0 9396    x. cmul 9401    < clt 9532    <_ cle 9533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712
This theorem is referenced by:  ltmul12ad  10388  expmordi  29456
  Copyright terms: Public domain W3C validator