Theorem ltmpq 6229

Description: Ordering property of multiplication for positive fractions. Proposition 9-2.6(iii) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltapq.1	|- A e. _V
ltapq.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
ltmpq	|- (C e. Q. -> (A <Q B <-> (C .Q A) <Q (C .Q B)))

Proof of Theorem ltmpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltapq.2	. 2 |- B e. _V
2		dmmulpq 6213	. 2 |- dom .Q = (Q. X. Q.)
3		ltapq.1	. 2 |- A e. _V
4		ltrelpq 6203	. 2 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
5		0npq 6202	. 2 |- -. (/) e. Q.
6		df-nq 6190	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
7		breq1 3341	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> ([<.x, y>.] ~Q <Q [<.z, w>.] ~Q <-> A <Q [<.z, w>.] ~Q ))
8		opreq2 4890	. . . . 5 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) = ([<.v, u>.] ~Q .Q A))
9	8	breq1d 3348	. . . 4 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> (([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q A) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))
10	7, 9	bibi12d 691	. . 3 |- ([<.x, y>.] ~Q = A -> (([<.x, y>.] ~Q <Q [<.z, w>.] ~Q <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) <-> (A <Q [<.z, w>.] ~Q <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q A) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ))))
11		breq2 3342	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> (A <Q [<.z, w>.] ~Q <-> A <Q B))
12		opreq2 4890	. . . . 5 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = ([<.v, u>.] ~Q .Q B))
13	12	breq2d 3350	. . . 4 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> (([<.v, u>.] ~Q .Q A) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q A) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q B)))
14	11, 13	bibi12d 691	. . 3 |- ([<.z, w>.] ~Q = B -> ((A <Q [<.z, w>.] ~Q <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q A) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )) <-> (A <Q B <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q A) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q B))))
15		opreq1 4889	. . . . 5 |- ([<.v, u>.] ~Q = C -> ([<.v, u>.] ~Q .Q A) = (C .Q A))
16		opreq1 4889	. . . . 5 |- ([<.v, u>.] ~Q = C -> ([<.v, u>.] ~Q .Q B) = (C .Q B))
17	15, 16	breq12d 3351	. . . 4 |- ([<.v, u>.] ~Q = C -> (([<.v, u>.] ~Q .Q A) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q B) <-> (C .Q A) <Q (C .Q B)))
18	17	bibi2d 680	. . 3 |- ([<.v, u>.] ~Q = C -> ((A <Q B <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q A) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q B)) <-> (A <Q B <-> (C .Q A) <Q (C .Q B))))
19		mulclpi 6173	. . . . . . . . 9 |- ((v e. N. /\ u e. N.) -> (v .N u) e. N.)
20		oprex 4907	. . . . . . . . . . 11 |- (x .N w) e. _V
21		oprex 4907	. . . . . . . . . . 11 |- (y .N z) e. _V
22	20, 21	ltmpi 6183	. . . . . . . . . 10 |- ((v .N u) e. N. -> ((x .N w) <N (y .N z) <-> ((v .N u) .N (x .N w)) <N ((v .N u) .N (y .N z))))
23		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- v e. _V
24		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- x e. _V
25		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- u e. _V
26		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- f e. _V
27		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- g e. _V
28	26, 27	mulcompi 6176	. . . . . . . . . . . 12 |- (f .N g) = (g .N f)
29		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- h e. _V
30	27, 29	mulasspi 6177	. . . . . . . . . . . 12 |- ((f .N g) .N h) = (f .N (g .N h))
31		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- w e. _V
32	23, 24, 25, 28, 30, 31	caopr4 4997	. . . . . . . . . . 11 |- ((v .N x) .N (u .N w)) = ((v .N u) .N (x .N w))
33		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- y e. _V
34		visset 2295	. . . . . . . . . . . . 13 |- z e. _V
35	25, 33, 23, 28, 30, 34	caopr4 4997	. . . . . . . . . . . 12 |- ((u .N y) .N (v .N z)) = ((u .N v) .N (y .N z))
36	25, 23	mulcompi 6176	. . . . . . . . . . . . 13 |- (u .N v) = (v .N u)
37	36	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . . 12 |- ((u .N v) .N (y .N z)) = ((v .N u) .N (y .N z))
38	35, 37	eqtri 1908	. . . . . . . . . . 11 |- ((u .N y) .N (v .N z)) = ((v .N u) .N (y .N z))
39	32, 38	breq12i 3347	. . . . . . . . . 10 |- (((v .N x) .N (u .N w)) <N ((u .N y) .N (v .N z)) <-> ((v .N u) .N (x .N w)) <N ((v .N u) .N (y .N z)))
40	22, 39	syl6bbr 597	. . . . . . . . 9 |- ((v .N u) e. N. -> ((x .N w) <N (y .N z) <-> ((v .N x) .N (u .N w)) <N ((u .N y) .N (v .N z))))
41	19, 40	syl 12	. . . . . . . 8 |- ((v e. N. /\ u e. N.) -> ((x .N w) <N (y .N z) <-> ((v .N x) .N (u .N w)) <N ((u .N y) .N (v .N z))))
42	24, 33, 34, 31	ordpipq 6208	. . . . . . . 8 |- ([<.x, y>.] ~Q <Q [<.z, w>.] ~Q <-> (x .N w) <N (y .N z))
43		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (v .N x) e. _V
44		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (u .N y) e. _V
45		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (v .N z) e. _V
46		oprex 4907	. . . . . . . . 9 |- (u .N w) e. _V
47	43, 44, 45, 46	ordpipq 6208	. . . . . . . 8 |- ([<.(v .N x), (u .N y)>.] ~Q <Q [<.(v .N z), (u .N w)>.] ~Q <-> ((v .N x) .N (u .N w)) <N ((u .N y) .N (v .N z)))
48	41, 42, 47	3bitr4g 614	. . . . . . 7 |- ((v e. N. /\ u e. N.) -> ([<.x, y>.] ~Q <Q [<.z, w>.] ~Q <-> [<.(v .N x), (u .N y)>.] ~Q <Q [<.(v .N z), (u .N w)>.] ~Q ))
49	48	adantr 425	. . . . . 6 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ ((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.))) -> ([<.x, y>.] ~Q <Q [<.z, w>.] ~Q <-> [<.(v .N x), (u .N y)>.] ~Q <Q [<.(v .N z), (u .N w)>.] ~Q ))
50		mulpipq 6207	. . . . . . . 8 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (x e. N. /\ y e. N.)) -> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) = [<.(v .N x), (u .N y)>.] ~Q )
51	50	adantrr 431	. . . . . . 7 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ ((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.))) -> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) = [<.(v .N x), (u .N y)>.] ~Q )
52		mulpipq 6207	. . . . . . . 8 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(v .N z), (u .N w)>.] ~Q )
53	52	adantrl 430	. . . . . . 7 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ ((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.))) -> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) = [<.(v .N z), (u .N w)>.] ~Q )
54	51, 53	breq12d 3351	. . . . . 6 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ ((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.))) -> (([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q ) <-> [<.(v .N x), (u .N y)>.] ~Q <Q [<.(v .N z), (u .N w)>.] ~Q ))
55	49, 54	bitr4d 590	. . . . 5 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ ((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.))) -> ([<.x, y>.] ~Q <Q [<.z, w>.] ~Q <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))
56	55	3impb 1063	. . . 4 |- (((v e. N. /\ u e. N.) /\ (x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q <Q [<.z, w>.] ~Q <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))
57	56	3coml 1075	. . 3 |- (((x e. N. /\ y e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.) /\ (v e. N. /\ u e. N.)) -> ([<.x, y>.] ~Q <Q [<.z, w>.] ~Q <-> ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.x, y>.] ~Q ) <Q ([<.v, u>.] ~Q .Q [<.z, w>.] ~Q )))
58	6, 10, 14, 18, 57	3ecoptocl 5364	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q. /\ C e. Q.) -> (A <Q B <-> (C .Q A) <Q (C .Q B)))
59	1, 2, 3, 4, 5, 58	ndmord 4983	1 |- (C e. Q. -> (A <Q B <-> (C .Q A) <Q (C .Q B)))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  [cec 5316  N.cnpi 6124   .N cmi 6126   <N clti 6127   ~Q ceq 6130  Q.cnq 6131   .Q cmq 6134   <Q cltq 6136

This theorem is referenced by:  ltaddpq 6231  ltrpq 6237  addclprlem1 6270  mulclprlem 6273  mulclpr 6274  distrlem4pr 6282  1idpr 6285  prlem936a 6305  prlem936 6307  reclem3pr 6310  reclem4pr 6311

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-mi 6154  df-lti 6155  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-mq 6192  df-ltq 6194

Copyright terms: Public domain