MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltletr Unicode version

Theorem ltletr 9122
Description: Transitive law. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltletr  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )

Proof of Theorem ltletr
StepHypRef Expression
1 leloe 9117 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C )
) )
213adant1 975 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  <->  ( B  <  C  \/  B  =  C ) ) )
3 lttr 9108 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <  C )  ->  A  <  C
) )
43exp3acom23 1378 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
5 breq2 4176 . . . . . . 7  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  <->  A  <  C ) )
65biimpd 199 . . . . . 6  |-  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) )
76a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  =  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
84, 7jaod 370 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( B  <  C  \/  B  =  C
)  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
92, 8sylbid 207 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( B  <_  C  ->  ( A  <  B  ->  A  <  C ) ) )
109com23 74 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( B  <_  C  ->  A  <  C ) ) )
1110imp3a 421 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  C )  ->  A  <  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   RRcr 8945    < clt 9076    <_ cle 9077
This theorem is referenced by:  ltletri  9157  ltletrd  9186  ltleadd  9467  lediv12a  9859  nngt0  9985  nnrecgt0  9993  elnnnn0c  10221  elnnz1  10263  zltp1le  10281  lbzbi  10520  zbtwnre  10528  qbtwnre  10741  xlemul1a  10823  xrsupsslem  10841  elfznelfzo  11147  ceile  11190  sqrlem4  12006  resqrex  12011  caubnd  12117  rlim2lt  12246  cos01gt0  12747  znnenlem  12766  ruclem12  12795  sadcaddlem  12924  nn0seqcvgd  13016  coprm  13055  prmlem1  13385  prmlem2  13397  icoopnst  18917  ovollb2lem  19337  dvcnvrelem1  19854  aaliou  20208  tanord  20393  logdivlti  20468  logdivlt  20469  ftalem2  20809  pntlem3  21256  ltflcei  26140  nn0prpwlem  26215  stoweidlem26  27642  stoweid  27679  swrdswrd  28011  swrdccatin1  28016
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-resscn 9003  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082
  Copyright terms: Public domain W3C validator