MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltlen Structured version   Unicode version

Theorem ltlen 9591
Description: 'Less than' expressed in terms of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 27-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltlen  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/=  A ) ) )

Proof of Theorem ltlen
StepHypRef Expression
1 ltle 9578 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
2 ltneOLD 9587 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  <  B )  ->  B  =/=  A )
323expia 1190 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  B  =/=  A ) )
41, 3jcad 533 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( A  <_  B  /\  B  =/=  A
) ) )
5 leloe 9576 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  <->  ( A  <  B  \/  A  =  B )
) )
6 ax-1 6 . . . . 5  |-  ( A  <  B  ->  ( B  =/=  A  ->  A  <  B ) )
7 df-ne 2650 . . . . . 6  |-  ( B  =/=  A  <->  -.  B  =  A )
8 pm2.24 109 . . . . . . 7  |-  ( B  =  A  ->  ( -.  B  =  A  ->  A  <  B ) )
98eqcoms 2466 . . . . . 6  |-  ( A  =  B  ->  ( -.  B  =  A  ->  A  <  B ) )
107, 9syl5bi 217 . . . . 5  |-  ( A  =  B  ->  ( B  =/=  A  ->  A  <  B ) )
116, 10jaoi 379 . . . 4  |-  ( ( A  <  B  \/  A  =  B )  ->  ( B  =/=  A  ->  A  <  B ) )
125, 11syl6bi 228 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <_  B  ->  ( B  =/=  A  ->  A  <  B ) ) )
1312impd 431 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <_  B  /\  B  =/=  A
)  ->  A  <  B ) )
144, 13impbid 191 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  ( A  <_  B  /\  B  =/=  A ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2648   class class class wbr 4403   RRcr 9396    < clt 9533    <_ cle 9534
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-resscn 9454  ax-pre-lttri 9471  ax-pre-lttrn 9472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-op 3995  df-uni 4203  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-er 7214  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-pnf 9535  df-mnf 9536  df-xr 9537  df-ltxr 9538  df-le 9539
This theorem is referenced by:  ltleni  9607  ltlend  9634  rpneg  11135  fzm1  11661  fzofzim  11714  elfznelfzob  11752  hashsdom  12266  cnpart  12851  ang180lem2  22349  mumullem2  22661  lgsneg  22801  lgsdilem  22804  lgsdirprm  22811  axlowdimlem16  23382  unitdivcld  26499  itg2addnclem  28614  nn0lt2  30357  chfacfisf  31363  chfacfisfcpmat  31364
  Copyright terms: Public domain W3C validator