MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltled Structured version   Unicode version

Theorem ltled 9509
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltled.1  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltled  |-  ( ph  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem ltled
StepHypRef Expression
1 ltled.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltle 9450 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
61, 5mpd 15 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1755   class class class wbr 4280   RRcr 9268    < clt 9405    <_ cle 9406
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1594  ax-4 1605  ax-5 1669  ax-6 1707  ax-7 1727  ax-8 1757  ax-9 1759  ax-10 1774  ax-11 1779  ax-12 1791  ax-13 1942  ax-ext 2414  ax-sep 4401  ax-nul 4409  ax-pow 4458  ax-pr 4519  ax-un 6361  ax-resscn 9326  ax-pre-lttri 9343
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 960  df-tru 1365  df-ex 1590  df-nf 1593  df-sb 1700  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2420  df-cleq 2426  df-clel 2429  df-nfc 2558  df-ne 2598  df-nel 2599  df-ral 2710  df-rex 2711  df-rab 2714  df-v 2964  df-sbc 3176  df-csb 3277  df-dif 3319  df-un 3321  df-in 3323  df-ss 3330  df-nul 3626  df-if 3780  df-pw 3850  df-sn 3866  df-pr 3868  df-op 3872  df-uni 4080  df-br 4281  df-opab 4339  df-mpt 4340  df-id 4623  df-xp 4833  df-rel 4834  df-cnv 4835  df-co 4836  df-dm 4837  df-rn 4838  df-res 4839  df-ima 4840  df-iota 5369  df-fun 5408  df-fn 5409  df-f 5410  df-f1 5411  df-fo 5412  df-f1o 5413  df-fv 5414  df-er 7089  df-en 7299  df-dom 7300  df-sdom 7301  df-pnf 9407  df-mnf 9408  df-xr 9409  df-ltxr 9410  df-le 9411
This theorem is referenced by:  ltnsymd  9510  mulge0  9844  msqge0  9848  addgt0d  9901  lt2addd  9948  lt2msq1  10202  uzwo3  10935  fznatpl1  11494  modaddmodup  11745  expmulnbnd  11979  fzsdom2  12172  repswcshw  12429  isercolllem1  13125  caucvgrlem  13133  climcnds  13296  geomulcvg  13318  mertenslem1  13326  ruclem2  13496  ruclem12  13505  bitsfzo  13613  bitsmod  13614  4sqlem7  13987  vdwlem1  14024  met1stc  19937  cfilucfilOLD  19985  cfilucfil  19986  nlmvscnlem2  20107  icccmplem2  20241  reconnlem2  20245  xrhmeo  20359  cnheibor  20368  nmoleub2lem3  20511  ipcnlem2  20597  minveclem3b  20756  ivthlem1  20776  ivthlem2  20777  ivth2  20780  ivthle  20781  ivthle2  20782  ovollb2lem  20812  ovolicc2lem4  20844  ovolicc2lem5  20845  ioombl1lem4  20883  uniioombllem4  20907  uniioombllem5  20908  opnmbllem  20922  ismbf3d  20973  mbfi1fseqlem6  21039  itg2gt0  21079  dveflem  21292  dvferm1lem  21297  dvferm2lem  21299  rollelem  21302  rolle  21303  cmvth  21304  mvth  21305  c1liplem1  21309  dvgt0lem1  21315  dvivthlem1  21321  lhop1lem  21326  lhop1  21327  dvcnvrelem1  21330  dvcnvrelem2  21331  dvcvx  21333  dgradd2  21619  aaliou3lem8  21695  aaliou3lem7  21699  ulmdvlem1  21749  itgulm  21757  radcnvlt1  21767  radcnvle  21769  abelthlem7  21787  efcvx  21798  coseq0negpitopi  21849  tangtx  21851  tanabsge  21852  tanord  21878  abslogimle  21909  divlogrlim  21964  logno1  21965  logcnlem3  21973  logcnlem4  21974  logtayl  21989  logccv  21992  cxple  22024  chordthmlem4  22114  asinsin  22171  atanlogaddlem  22192  atantan  22202  cxp2limlem  22253  logdifbnd  22271  emcllem4  22276  harmonicbnd4  22288  ftalem1  22294  ftalem2  22295  ftalem3  22296  basellem5  22306  basellem8  22309  chpchtsum  22442  bposlem1  22507  lgseisenlem1  22572  lgsquadlem1  22577  lgsquadlem2  22578  lgsquadlem3  22579  chebbnd1lem2  22603  chebbnd1lem3  22604  chtppilimlem1  22606  chto1ub  22609  chpo1ubb  22614  vmadivsumb  22616  dchrisumlem3  22624  mulog2sumlem1  22667  vmalogdivsum2  22671  vmalogdivsum  22672  2vmadivsumlem  22673  selbergb  22682  selberg2b  22685  chpdifbndlem1  22686  selberg3lem2  22691  selberg3  22692  selberg4lem1  22693  selberg4  22694  pntrsumbnd  22699  selberg3r  22702  selberg4r  22703  selberg34r  22704  pntrlog2bndlem1  22710  pntrlog2bndlem2  22711  pntrlog2bndlem3  22712  pntrlog2bndlem4  22713  pntrlog2bndlem5  22714  pntrlog2bndlem6a  22715  pntrlog2bndlem6  22716  pntrlog2bnd  22717  pntpbnd1a  22718  pntpbnd1  22719  pntpbnd2  22720  pntibndlem2  22724  pntlemb  22730  pntlemq  22734  pntlemr  22735  pntlemj  22736  pntlemf  22738  pntlemp  22743  ostth2lem2  22767  axpaschlem  23008  axlowdimlem16  23025  smcnlem  23914  bcm1n  25901  dya2icoseg  26545  eulerpartlemgc  26592  dstfrvunirn  26704  ballotlemfc0  26722  ballotlemfcc  26723  ballotlemimin  26735  ballotlemsgt1  26740  ballotlemfrcn0  26759  sgnmul  26772  lgamucov  26871  subfacval3  26924  erdszelem8  26933  cvmliftlem6  27026  cvmliftlem7  27027  cvmliftlem8  27028  cvmliftlem9  27029  cvmliftlem10  27030  sinccvglem  27163  lxflflp1  28262  opnmbllem0  28268  itg2addnclem  28284  itg2addnclem3  28286  itg2addnc  28287  itg2gt0cn  28288  areacirclem1  28325  areacirc  28330  isbnd3  28524  cntotbnd  28536  rrnequiv  28575  irrapxlem3  29007  pellexlem2  29013  pellfundglb  29068  monotuz  29124  monotoddzzfi  29125  acongrep  29165  stoweidlem1  29639  stoweidlem3  29641  stoweidlem7  29645  stoweidlem24  29662  stoweidlem26  29664  stoweidlem42  29680  wallispilem5  29707  stirlinglem1  29712  stirlinglem6  29717  stirlinglem7  29718  stirlinglem10  29721  stirlinglem12  29723  stirlinglem13  29724  stirlingr  29728
  Copyright terms: Public domain W3C validator