MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltled Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltled 9783
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltled.1  |-  ( ph  ->  A  <  B )
Assertion
Ref Expression
ltled  |-  ( ph  ->  A  <_  B )

Proof of Theorem ltled
StepHypRef Expression
1 ltled.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  <  B )
2 ltd.1 . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
3 ltd.2 . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4 ltle 9722 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
52, 3, 4syl2anc 667 . 2  |-  ( ph  ->  ( A  <  B  ->  A  <_  B )
)
61, 5mpd 15 1  |-  ( ph  ->  A  <_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    e. wcel 1887   class class class wbr 4402   RRcr 9538    < clt 9675    <_ cle 9676
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-resscn 9596  ax-pre-lttri 9613
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-op 3975  df-uni 4199  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-id 4749  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681
This theorem is referenced by:  ltnsymd  9784  mulge0  10132  msqge0  10135  addgt0d  10188  lt2addd  10236  lt2msq1  10490  uzwo3  11259  fznatpl1  11850  flflp1  12043  modaddmodup  12153  expmulnbnd  12404  fzsdom2  12600  repswcshw  12911  isercolllem1  13728  caucvgrlem  13736  caucvgrlemOLD  13737  climcnds  13909  geomulcvg  13932  mertenslem1  13940  ruclem2  14284  ruclem12  14293  bitsfzo  14409  bitsmod  14410  lcmgcdlem  14571  4sqlem7  14888  vdwlem1  14931  met1stc  21536  cfilucfil  21574  nlmvscnlem2  21688  icccmplem2  21841  reconnlem2  21845  xrhmeo  21974  cnheibor  21983  nmoleub2lem3  22129  ipcnlem2  22215  minveclem3b  22370  minveclem3bOLD  22382  ivthlem1  22402  ivthlem2  22403  ivth2  22406  ivthle  22407  ivthle2  22408  ovollb2lem  22441  ovolicc2lem4OLD  22473  ovolicc2lem4  22474  ovolicc2lem5  22475  ioombl1lem4  22514  uniioombllem4  22544  uniioombllem5  22545  opnmbllem  22559  ismbf3d  22610  mbfi1fseqlem6  22678  itg2gt0  22718  dveflem  22931  dvferm1lem  22936  dvferm2lem  22938  rollelem  22941  rolle  22942  cmvth  22943  mvth  22944  c1liplem1  22948  dvgt0lem1  22954  dvivthlem1  22960  lhop1lem  22965  lhop1  22966  dvcnvrelem1  22969  dvcnvrelem2  22970  dvcvx  22972  dgradd2  23222  aaliou3lem8  23301  aaliou3lem7  23305  ulmdvlem1  23355  itgulm  23363  radcnvlt1  23373  radcnvle  23375  abelthlem7  23393  efcvx  23404  coseq0negpitopi  23458  tangtx  23460  tanabsge  23461  tanord  23487  abslogimle  23523  divlogrlim  23580  logno1  23581  logcnlem3  23589  logcnlem4  23590  logtayl  23605  logccv  23608  cxple  23640  chordthmlem4  23761  asinsin  23818  atanlogaddlem  23839  atantan  23849  cxp2limlem  23901  logdifbnd  23919  emcllem4  23924  harmonicbnd4  23936  lgamucov  23963  ftalem1  23997  ftalem2  23998  ftalem3  23999  basellem5  24011  basellem8  24014  chpchtsum  24147  bposlem1  24212  lgseisenlem1  24277  lgsquadlem1  24282  lgsquadlem2  24283  lgsquadlem3  24284  chebbnd1lem2  24308  chebbnd1lem3  24309  chtppilimlem1  24311  chto1ub  24314  chpo1ubb  24319  vmadivsumb  24321  dchrisumlem3  24329  mulog2sumlem1  24372  vmalogdivsum2  24376  vmalogdivsum  24377  2vmadivsumlem  24378  selbergb  24387  selberg2b  24390  chpdifbndlem1  24391  selberg3lem2  24396  selberg3  24397  selberg4lem1  24398  selberg4  24399  pntrsumbnd  24404  selberg3r  24407  selberg4r  24408  selberg34r  24409  pntrlog2bndlem1  24415  pntrlog2bndlem2  24416  pntrlog2bndlem3  24417  pntrlog2bndlem4  24418  pntrlog2bndlem5  24419  pntrlog2bndlem6a  24420  pntrlog2bndlem6  24421  pntrlog2bnd  24422  pntpbnd1a  24423  pntpbnd1  24424  pntpbnd2  24425  pntibndlem2  24429  pntlemb  24435  pntlemq  24439  pntlemr  24440  pntlemj  24441  pntlemf  24443  pntlemp  24448  ostth2lem2  24472  axpaschlem  24970  axlowdimlem16  24987  smcnlem  26333  bcm1n  28371  smatrcl  28622  fiunelros  28996  dya2icoseg  29099  eulerpartlemgc  29195  dstfrvunirn  29307  ballotlemfc0  29325  ballotlemfcc  29326  ballotlemimin  29338  ballotlemsgt1  29343  ballotlemfrcn0  29362  ballotlemiminOLD  29376  ballotlemsgt1OLD  29381  ballotlemfrcn0OLD  29400  sgnmul  29413  subfacval3  29912  erdszelem8  29921  cvmliftlem6  30013  cvmliftlem7  30014  cvmliftlem8  30015  cvmliftlem9  30016  cvmliftlem10  30017  sinccvglem  30316  poimirlem7  31947  poimirlem15  31955  opnmbllem0  31976  itg2addnclem  31993  itg2addnclem3  31995  itg2addnc  31996  itg2gt0cn  31997  areacirclem1  32032  areacirc  32037  isbnd3  32116  cntotbnd  32128  rrnequiv  32167  irrapxlem3  35668  pellexlem2  35674  pellfundglb  35733  monotuz  35789  monotoddzzfi  35790  acongrep  35830  isprm7  36660  cvgdvgrat  36662  hashnzfz2  36670  hashnzfzclim  36671  binomcxplemnotnn0  36705  monoords  37514  xralrple2  37577  limciccioolb  37701  limcicciooub  37717  lptre2pt  37720  icccncfext  37765  cncfiooicclem1  37771  dvdivbd  37795  dvbdfbdioolem1  37800  dvbdfbdioolem2  37801  ioodvbdlimc1lem2  37804  ioodvbdlimc1lem2OLD  37806  ioodvbdlimc2lem  37808  ioodvbdlimc2lemOLD  37809  dvnxpaek  37817  dvnmul  37818  volioc  37849  iblspltprt  37850  itgspltprt  37856  stoweidlem1  37861  stoweidlem3  37863  stoweidlem7  37867  stoweidlem24  37884  stoweidlem26  37886  stoweidlem42  37903  wallispilem5  37931  stirlinglem1  37936  stirlinglem6  37941  stirlinglem7  37942  stirlinglem10  37945  stirlinglem12  37947  stirlinglem13  37948  stirlingr  37952  dirkertrigeqlem1  37960  fourierdlem10  37979  fourierdlem11  37980  fourierdlem12  37981  fourierdlem14  37983  fourierdlem15  37984  fourierdlem17  37986  fourierdlem19  37988  fourierdlem30  37999  fourierdlem37  38007  fourierdlem40  38010  fourierdlem41  38011  fourierdlem42  38012  fourierdlem42OLD  38013  fourierdlem47  38017  fourierdlem48  38018  fourierdlem49  38019  fourierdlem50  38020  fourierdlem51  38021  fourierdlem54  38024  fourierdlem63  38033  fourierdlem64  38034  fourierdlem65  38035  fourierdlem68  38038  fourierdlem73  38043  fourierdlem74  38044  fourierdlem76  38046  fourierdlem77  38047  fourierdlem78  38048  fourierdlem79  38049  fourierdlem81  38051  fourierdlem82  38052  fourierdlem83  38053  fourierdlem92  38062  fourierdlem93  38063  fourierdlem102  38072  fourierdlem103  38073  fourierdlem104  38074  fourierdlem107  38077  fourierdlem111  38081  fourierdlem114  38084  sqwvfoura  38092  sqwvfourb  38093  fouriersw  38095  etransclem19  38118  etransclem23  38122  etransclem35  38134  etransclem41  38140  qndenserrnbllem  38163  iundjiun  38298  carageniuncllem2  38343  caratheodorylem1  38347  volico  38363  hoicvr  38370  ovnsubaddlem1  38392  hsphoidmvle2  38407  hoidmv1lelem1  38413  hoidmv1lelem2  38414  hoidmvlelem1  38417  hoidmvlelem2  38418  hoidmvlelem3  38419  hoiqssbllem1  38444  hoiqssbllem2  38445  expnegico01  40368
  Copyright terms: Public domain W3C validator