Theorem ltle 9662

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 385	. 2 |- ( A < B -> ( A < B \/ A = B ) )
2		leloe 9660	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
3	1, 2	syl5ibr 221	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   class class class wbr 4440   RRcr 9480   < clt 9617   <_ cle 9618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-resscn 9538  ax-pre-lttri 9555

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-op 4027  df-uni 4239  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-id 4788  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-er 7301  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623

This theorem is referenced by:  ltleletr  9666  letr  9667  letric  9674  ltlen  9675  ltlei  9695  ltled  9721  lt2add  10026  lep1  10370  lem1  10372  letrp1  10373  ltmul12a  10387  mulge0b  10401  lediv12a  10427  bndndx  10783  uzind  10941  fnn0ind  10949  eluz2b2  11143  lbzbi  11159  zmin  11167  rpnnen1lem1  11197  rpnnen1lem2  11198  rpnnen1lem3  11199  rpnnen1lem5  11201  rpge0  11221  rpneg  11238  iccsplit  11642  difelfznle  11775  elfzouz2  11799  elfzo0le  11823  fzosplitprm1  11876  fzostep1  11879  fllep1  11895  fracle1  11897  expgt1  12159  expnbnd  12250  expnlbnd2  12252  faclbnd  12323  swrdccat3  12667  repswswrd  12706  resqrex  13034  sqrgt0  13042  absmax  13111  eqsqr2d  13150  rlim2lt  13269  mulcn2  13367  rlimo1  13388  o1rlimmul  13390  climbdd  13443  caucvgrlem  13444  supcvg  13619  efcllem  13664  sin01bnd  13770  cos01bnd  13771  sin01gt0  13775  cos01gt0  13776  absef  13782  efieq1re  13784  ruclem11  13823  pythagtriplem12  14198  pythagtriplem13  14199  pythagtriplem14  14200  pythagtriplem16  14202  pclem  14210  cshwshashlem2  14428  isabvd  17245  met2ndci  20753  blcvx  21031  icoopnst  21167  iocopnst  21168  nmoleub2a  21328  nmoleub2b  21329  nmhmcn  21331  iscmet3lem2  21459  caubl  21474  ivthlem2  21592  ovolicc2lem4  21659  ioombl1lem4  21699  ioovolcl  21707  volsup2  21742  itg2monolem1  21885  itg2gt0  21895  itg2cnlem1  21896  dvne0  22140  ftc1lem4  22168  dgrlt  22390  aalioulem5  22459  ulmbdd  22520  iblulm  22529  radcnvlem1  22535  abelthlem5  22557  abelthlem7  22560  sincosq1lem  22616  tangtx  22624  tanabsge  22625  sinq12ge0  22627  sineq0  22640  tanord  22651  logcj  22712  argregt0  22716  argrege0  22717  argimgt0  22718  logdmnrp  22743  logcnlem3  22746  logf1o2  22752  cxpsqrlem  22804  abscxpbnd  22848  logreclem  22871  asinneg  22938  atanlogsublem  22967  atanlogsub  22968  rlimcnp  23016  xrlimcnp  23019  basellem8  23082  chtub  23208  bposlem9  23288  chebbnd1  23378  chtppilimlem1  23379  dchrvmasumiflem1  23407  mulog2sumlem2  23441  pntrmax  23470  pntibndlem2  23497  pntibndlem3  23498  pntlemf  23511  axlowdimlem16  23929  nmblolbii  25376  ubthlem1  25448  bcsiALT  25758  nmbdoplbi  26605  nmcexi  26607  nmcoplbi  26609  lnconi  26614  nmbdfnlbi  26630  nmcfnlbi  26633  nmopcoi  26676  branmfn  26686  leopmul  26715  nmopleid  26720  esumcvg  27718  ballotlemfrceq  28093  sinccvglem  28499  ltflcei  29606  ftc1cnnclem  29652  ftc1anclem5  29658  opnrebl2  29703  ivthALT  29717  incsequz2  29832  nnubfi  29833  bfplem2  29909  pell14qrgap  30402  pellfundre  30408  pellfundlb  30411  halffl  31025  stoweidlem17  31272  stoweidlem34  31289  wallispilem1  31320  leltletr  31742  ltsubnn0  31751  2elfz2melfz  31758  elfzelfzlble  31761  subsubelfzo0  31762