Theorem ltle 6690

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'.

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leloe 6688	. 2 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A <_ B <-> (A < B \/ A = B)))
2		orc 291	. 2 |- (A < B -> (A < B \/ A = B))
3	1, 2	syl5bir 227	1 |- ((A e. RR /\ B e. RR) -> (A < B -> A <_ B))

Syntax hints:   -> wi 3   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300   class class class wbr 3338  RRcr 6385   <_ cle 6448   < clt 6653

This theorem is referenced by:  ltlen 6692  letr 6695  ltlei 6755  letric 6802  letricOLD 6803  lep1 6990  letrp1 6994  ltmul12a 7023  lediv12a 7079  ledivp1 7088  avgle 7231  rpge0 7241  rpneg 7252  bndndx 7282  elnnz1 7364  zltp1le 7390  uzind 7417  uzwo3lem1 7429  fsequb2 7703  expnbnd 7901  expnlbnd2 7903  sqrlem5 7927  absmax 8149  seq1ublem 8163  cvg1i 8172  cvg2i 8174  fsum1ps 8278  fsumsplit 8280  fsumcmpndx2 8302  clm4lei 8341  climge0 8372  climmullem4 8383  climcaui 8416  caucvglem2 8418  caucvglem6 8422  iserzgt0 8472  reccnv 8479  infcvglem3 8484  cvgratlem2ALT 8510  cvgratlem1 8512  cvgratlem2 8513  cvgratlem5 8516  ivthlem7 8549  erelem3 8583  efaddlem25 8624  eftabsi 8637  abspef01tlubi 8660  absefm1lei 8677  cos01gt0 8743  absef 8749  efieq1re 8751  znnen 8771  ruclem33 8811  ssblex 9133  metcnpi3 9170  metcnpi4 9171  metcni2 9173  lmnn 9213  bcthlem18 9294  nmblolbii 9799  blocnilem 9804  ubthlem5 9876  ubthlem10 9881  ubthlem13 9885  ubthlem13OLD 9886  pilem2 10021  pilem3 10022  sincosq1lem 10052  efifolem4 10079  bcsiALT 10679  pjthlem10 10861  nmbdoplbi 11586  nmcopexlem3 11590  nmcoplbi 11595  nmbdfnlbi 11615  nmcfnexlem3 11619  nmcfnlbi 11624  nmopcoi 11665  branmfn 11675  branmfnOLD 11676  leopmul 11705  nmopleid 11710  fnn0ind 13611  lbzbi 13657  mslb1 15007  2wsms 15008  lvsovso 15038  reconnlem4 15449  ivthALT 15454  rddif 15798  absrdbnd 15799  fdc 15812  incsequz2 15816  nnubfi 15818  iccsplit 15854  icoopnst 15876  iocopnst 15877  totbndbnd 15944  heiborlem12 15966  heiborlem33 15987  rrntotbndlem1 16020  pcopt 16084  pcoass 16085  pcorevlem 16086

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658

Copyright terms: Public domain