Theorem ltle 9459

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 385	. 2 |- ( A < B -> ( A < B \/ A = B ) )
2		leloe 9457	. 2 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A <_ B <-> ( A < B \/ A = B ) ) )
3	1, 2	syl5ibr 221	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A <_ B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   \/ wo 368   /\ wa 369   = wceq 1364   e. wcel 1761   class class class wbr 4289   RRcr 9277   < clt 9414   <_ cle 9415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-resscn 9335  ax-pre-lttri 9352

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-er 7097  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420

This theorem is referenced by:  ltleletr  9463  letr  9464  letric  9471  ltlen  9472  ltlei  9492  ltled  9518  lt2add  9820  lep1  10164  lem1  10166  letrp1  10167  ltmul12a  10181  mulge0b  10195  lediv12a  10221  bndndx  10574  uzind  10729  fnn0ind  10737  eluz2b2  10923  lbzbi  10939  zmin  10945  rpnnen1lem1  10975  rpnnen1lem2  10976  rpnnen1lem3  10977  rpnnen1lem5  10979  rpge0  10999  rpneg  11016  iccsplit  11414  elfzouz2  11562  elfzo0le  11586  fzostep1  11631  fllep1  11647  fracle1  11649  expgt1  11898  expnbnd  11989  expnlbnd2  11991  faclbnd  12062  swrdccat3  12379  repswswrd  12418  resqrex  12736  sqrgt0  12744  absmax  12813  eqsqr2d  12852  rlim2lt  12971  mulcn2  13069  rlimo1  13090  o1rlimmul  13092  climbdd  13145  caucvgrlem  13146  supcvg  13314  efcllem  13359  sin01bnd  13465  cos01bnd  13466  sin01gt0  13470  cos01gt0  13471  absef  13477  efieq1re  13479  ruclem11  13518  pythagtriplem12  13889  pythagtriplem13  13890  pythagtriplem14  13891  pythagtriplem16  13893  pclem  13901  cshwshashlem2  14119  isabvd  16885  met2ndci  20056  blcvx  20334  icoopnst  20470  iocopnst  20471  nmoleub2a  20631  nmoleub2b  20632  nmhmcn  20634  iscmet3lem2  20762  caubl  20777  ivthlem2  20895  ovolicc2lem4  20962  ioombl1lem4  21001  ioovolcl  21009  volsup2  21044  itg2monolem1  21187  itg2gt0  21197  itg2cnlem1  21198  dvne0  21442  ftc1lem4  21470  dgrlt  21692  aalioulem5  21761  ulmbdd  21822  iblulm  21831  radcnvlem1  21837  abelthlem5  21859  abelthlem7  21862  sincosq1lem  21918  tangtx  21926  tanabsge  21927  sinq12ge0  21929  sineq0  21942  tanord  21953  logcj  22014  argregt0  22018  argrege0  22019  argimgt0  22020  logdmnrp  22045  logcnlem3  22048  logf1o2  22054  cxpsqrlem  22106  abscxpbnd  22150  logreclem  22173  asinneg  22240  atanlogsublem  22269  atanlogsub  22270  rlimcnp  22318  xrlimcnp  22321  basellem8  22384  chtub  22510  bposlem9  22590  chebbnd1  22680  chtppilimlem1  22681  dchrvmasumiflem1  22709  mulog2sumlem2  22743  pntrmax  22772  pntibndlem2  22799  pntibndlem3  22800  pntlemf  22813  axlowdimlem16  23138  nmblolbii  24134  ubthlem1  24206  bcsiALT  24516  nmbdoplbi  25363  nmcexi  25365  nmcoplbi  25367  lnconi  25372  nmbdfnlbi  25388  nmcfnlbi  25391  nmopcoi  25434  branmfn  25444  leopmul  25473  nmopleid  25478  esumcvg  26471  ballotlemfrceq  26841  sinccvglem  27246  ltflcei  28344  ftc1cnnclem  28390  ftc1anclem5  28396  opnrebl2  28441  ivthALT  28455  incsequz2  28570  nnubfi  28571  bfplem2  28647  pell14qrgap  29141  pellfundre  29147  pellfundlb  29150  stoweidlem17  29737  stoweidlem34  29754  wallispilem1  29785  leltletr  30098  ltsubnn0  30107  2elfz2melfz  30127  elfzelfzlble  30134  subsubelfzo0  30135  fzosplitprm1  30149  difelfznle  30413