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Theorem ltgov 24640
Description: Strict "shorter than" geometric relation between segments. (Contributed by Thierry Arnoux, 15-Dec-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
legval.p  |-  P  =  ( Base `  G
)
legval.d  |-  .-  =  ( dist `  G )
legval.i  |-  I  =  (Itv `  G )
legval.l  |-  .<_  =  (≤G `  G )
legval.g  |-  ( ph  ->  G  e. TarskiG )
legso.a  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
legso.f  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
legso.l  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
legso.d  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
ltgov.a  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
ltgov.b  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
Assertion
Ref Expression
ltgov  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<  ( C  .-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )

Proof of Theorem ltgov
StepHypRef Expression
1 legso.l . . . . 5  |-  .<  =  ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  )
21breqi 4429 . . . 4  |-  ( ( A  .-  B ) 
.<  ( C  .-  D
)  <->  ( A  .-  B ) ( ( 
.<_  |`  E )  \  _I  ) ( C  .-  D ) )
3 brdif 4474 . . . 4  |-  ( ( A  .-  B ) ( (  .<_  |`  E ) 
\  _I  ) ( C  .-  D )  <-> 
( ( A  .-  B ) (  .<_  |`  E ) ( C 
.-  D )  /\  -.  ( A  .-  B
)  _I  ( C 
.-  D ) ) )
42, 3bitri 252 . . 3  |-  ( ( A  .-  B ) 
.<  ( C  .-  D
)  <->  ( ( A 
.-  B ) ( 
.<_  |`  E ) ( C  .-  D )  /\  -.  ( A 
.-  B )  _I  ( C  .-  D
) ) )
5 ovex 6333 . . . . 5  |-  ( C 
.-  D )  e. 
_V
65brres 5130 . . . 4  |-  ( ( A  .-  B ) (  .<_  |`  E ) ( C  .-  D
)  <->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  e.  E
) )
76anbi1i 699 . . 3  |-  ( ( ( A  .-  B
) (  .<_  |`  E ) ( C  .-  D
)  /\  -.  ( A  .-  B )  _I  ( C  .-  D
) )  <->  ( (
( A  .-  B
)  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  e.  E )  /\  -.  ( A  .-  B )  _I  ( C  .-  D ) ) )
8 anass 653 . . 3  |-  ( ( ( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  /\  ( A  .-  B )  e.  E )  /\  -.  ( A  .-  B
)  _I  ( C 
.-  D ) )  <-> 
( ( A  .-  B )  .<_  ( C 
.-  D )  /\  ( ( A  .-  B )  e.  E  /\  -.  ( A  .-  B )  _I  ( C  .-  D ) ) ) )
94, 7, 83bitri 274 . 2  |-  ( ( A  .-  B ) 
.<  ( C  .-  D
)  <->  ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( ( A 
.-  B )  e.  E  /\  -.  ( A  .-  B )  _I  ( C  .-  D
) ) ) )
105ideq 5006 . . . . 5  |-  ( ( A  .-  B )  _I  ( C  .-  D )  <->  ( A  .-  B )  =  ( C  .-  D ) )
1110necon3bbii 2681 . . . 4  |-  ( -.  ( A  .-  B
)  _I  ( C 
.-  D )  <->  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) )
12 ltgov.a . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  P )
13 ltgov.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  P )
14 legso.f . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Fun  .-  )
15 legso.d . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  X.  P
)  C_  dom  .-  )
1612, 13, 14, 15elovimad 6345 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  e.  (  .-  " ( P  X.  P
) ) )
17 legso.a . . . . . 6  |-  E  =  (  .-  " ( P  X.  P ) )
1816, 17syl6eleqr 2518 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  .-  B
)  e.  E )
1918biantrurd 510 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( -.  ( A 
.-  B )  _I  ( C  .-  D
)  <->  ( ( A 
.-  B )  e.  E  /\  -.  ( A  .-  B )  _I  ( C  .-  D
) ) ) )
2011, 19syl5rbbr 263 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  e.  E  /\  -.  ( A  .-  B )  _I  ( C  .-  D
) )  <->  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) )
2120anbi2d 708 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( A 
.-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( ( A 
.-  B )  e.  E  /\  -.  ( A  .-  B )  _I  ( C  .-  D
) ) )  <->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
229, 21syl5bb 260 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  .-  B )  .<  ( C  .-  D )  <->  ( ( A  .-  B )  .<_  ( C  .-  D )  /\  ( A  .-  B )  =/=  ( C  .-  D ) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1872    =/= wne 2614    \ cdif 3433    C_ wss 3436   class class class wbr 4423    _I cid 4763    X. cxp 4851   dom cdm 4853    |` cres 4855   "cima 4856   Fun wfun 5595   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15120   distcds 15198  TarskiGcstrkg 24476  Itvcitv 24482  ≤Gcleg 24625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2057  ax-ext 2401  ax-sep 4546  ax-nul 4555  ax-pr 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2273  df-mo 2274  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2568  df-ne 2616  df-ral 2776  df-rex 2777  df-rab 2780  df-v 3082  df-sbc 3300  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-nul 3762  df-if 3912  df-sn 3999  df-pr 4001  df-op 4005  df-uni 4220  df-br 4424  df-opab 4483  df-id 4768  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-fv 5609  df-ov 6308
This theorem is referenced by:  legov3  24641  legso  24642
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