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Theorem ltflcei 29648
Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
ltflcei  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 11905 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21ad3antrrr 729 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 renegcl 9882 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
4 flval 11899 . . . . . . . . 9  |-  ( -u B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B
)  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) ) )
65ad3antlr 730 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( |_ `  -u B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) ) )
7 fllep1 11906 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
87adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
9 reflcl 11901 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
10 peano2re 9752 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
1211adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
13 letr 9678 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  A  /\  A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1412, 13mpd3an3 1325 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
158, 14mpan2d 674 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
16 leneg 10055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( B  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 )  <->  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
1711, 16sylan2 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 )  <->  -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B ) )
1815, 17sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
1918ancoms 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
20 ltneg 10052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  -u ( |_ `  A ) ) )
219, 20sylan 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  -u ( |_ `  A ) ) )
229recnd 9622 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
23 ax-1cn 9550 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
24 negdi2 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  =  (
-u ( |_ `  A )  -  1 ) )
2524oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( -u ( |_
`  A )  - 
1 )  +  1 ) )
26 negcl 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  A )  e.  CC  ->  -u ( |_ `  A )  e.  CC )
27 npcan 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u ( |_ `  A )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  A )  -  1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  A ) )
2826, 27sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  A )  - 
1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  A ) )
2925, 28eqtr2d 2509 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( |_ `  A )  =  (
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) )
3022, 23, 29sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  -u ( |_ `  A )  =  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )
3130breq2d 4459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u B  <  -u ( |_ `  A )  <->  -u B  < 
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3231adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u B  <  -u ( |_ `  A
)  <->  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3321, 32bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3433biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  -> 
-u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3519, 34anim12d 563 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3635ancomsd 454 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  < 
B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3736impl 620 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
38 flcl 11900 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
3938peano2zd 10969 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
4039znegcld 10968 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
41 rebtwnz 11181 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )
423, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )
43 breq1 4450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
x  <_  -u B  <->  -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B ) )
44 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  +  1 ) )
4544breq2d 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  ( -u B  <  ( x  +  1 )  <->  -u B  < 
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
4643, 45anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) )  <->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
4746riota2 6268 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) )  ->  (
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
4840, 42, 47syl2an 477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
4948ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
5037, 49mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  =  -u (
( |_ `  A
)  +  1 ) )
516, 50eqtrd 2508 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( |_ `  -u B )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
5238zcnd 10967 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
53 peano2cn 9751 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  CC  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  CC )
5452, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  CC )
553flcld 11903 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  e.  ZZ )
5655zcnd 10967 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  e.  CC )
57 negcon2 9872 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  CC  /\  ( |_ `  -u B
)  e.  CC )  ->  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  = 
-u ( |_ `  -u B )  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5854, 56, 57syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B
)  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5958ad2antrr 725 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B )  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
6051, 59mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B ) )
612, 60breqtrd 4471 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )
6261ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) ) )
63 ltnle 9664 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
64 ceige 11940 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_ 
-u ( |_ `  -u B ) )
6564adantl 466 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  -u ( |_
`  -u B ) )
66 ceicl 11938 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  ZZ )
6766zred 10966 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  RR )
6867adantl 466 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u ( |_ `  -u B )  e.  RR )
69 ltletr 9676 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  -u ( |_ `  -u B )  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7068, 69mpd3an3 1325 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <_  -u ( |_ `  -u B
) )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7165, 70mpan2d 674 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7263, 71sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7372adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7462, 73pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) )
75 flval 11899 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
7675ad3antrrr 729 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) ) )
77 ceim1l 11942 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B )
7877adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <  B
)
79 peano2rem 9886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( |_ `  -u B
)  e.  RR  ->  (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  e.  RR )
8067, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  RR )
8180adantl 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR )
82 ltletr 9676 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  A ) )
83 ltle 9673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  A  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
84833adant2 1015 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <  A  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
8582, 84syld 44 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
86853com13 1201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
8781, 86mpd3an3 1325 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
8878, 87mpand 675 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
8966zcnd 10967 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  CC )
90 npcan 9829 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u ( |_ `  -u B )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 )  = 
-u ( |_ `  -u B ) )
9189, 23, 90sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( -u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B ) )
9291breq2d 4459 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 )  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) ) )
9392biimprd 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  -u ( |_ `  -u B )  ->  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) )
9493adantl 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  -u ( |_ `  -u B )  ->  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
9588, 94anim12d 563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9695ancomsd 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <  -u ( |_ `  -u B
)  /\  B  <_  A )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9796impl 620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A  /\  A  <  ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 ) ) )
98 peano2zm 10906 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( |_ `  -u B
)  e.  ZZ  ->  (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  e.  ZZ )
9966, 98syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  ZZ )
100 rebtwnz 11181 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
101 breq1 4450 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
x  <_  A  <->  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
102 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) )
103102breq2d 4459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) )
104101, 103anbi12d 710 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A  /\  A  <  ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
105104riota2 6268 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 ) ) )
10699, 100, 105syl2anr 478 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 ) ) )
107106ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 ) ) )
10897, 107mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 ) )
10976, 108eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  =  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 ) )
11077ad3antlr 730 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( -u ( |_ `  -u B )  -  1 )  <  B )
111109, 110eqbrtrd 4467 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  <  B )
112111ex 434 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
113 flle 11904 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
114113adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
1159adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
116 lelttr 9675 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  B )  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
1171163coml 1203 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  B )  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
118115, 117mpd3an3 1325 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
119114, 118mpand 675 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( |_ `  A
)  <  B )
)
12063, 119sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
121120adantr 465 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
122112, 121pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( |_ `  A )  <  B
)
12374, 122impbida 830 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   E!wreu 2816   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   -ucneg 9806   ZZcz 10864   |_cfl 11895
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fl 11897
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