Theorem ltflcei 29648

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 11905	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		renegcl 9882	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
4		flval 11899	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
6	5	ad3antlr 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
7		fllep1 11906	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
8	7	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
9		reflcl 11901	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
10		peano2re 9752	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` A ) e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
12	11	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		letr 9678	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14	12, 13	mpd3an3 1325	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	8, 14	mpan2d 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
16		leneg 10055	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
17	11, 16	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
18	15, 17	sylibd 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
19	18	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
20		ltneg 10052	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
21	9, 20	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
22	9	recnd 9622	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
23		ax-1cn 9550	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
24		negdi2 9877	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) )
25	24	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) )
26		negcl 9820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> -u ( |_ ` A ) e. CC )
27		npcan 9829	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
28	26, 27	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
29	25, 28	eqtr2d 2509	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
30	22, 23, 29	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
31	30	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
33	21, 32	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
34	33	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B -> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
35	19, 34	anim12d 563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
36	35	ancomsd 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
37	36	impl 620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
38		flcl 11900	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
39	38	peano2zd 10969	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
40	39	znegcld 10968	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
41		rebtwnz 11181	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
42	3, 41	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
43		breq1 4450	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x <_ -u B <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
44		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x + 1 ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
45	44	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( -u B < ( x + 1 ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
46	43, 45	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) <-> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
47	46	riota2 6268	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
48	40, 42, 47	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
49	48	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
50	37, 49	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
51	6, 50	eqtrd 2508	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
52	38	zcnd 10967	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
53		peano2cn 9751	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
55	3	flcld 11903	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
56	55	zcnd 10967	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. CC )
57		negcon2 9872	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC /\ ( |_ ` -u B ) e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
58	54, 56, 57	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	58	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
60	51, 59	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
61	2, 60	breqtrd 4471	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
62	61	ex 434	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
63		ltnle 9664	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
64		ceige 11940	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
65	64	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
66		ceicl 11938	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
67	66	zred 10966	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
68	67	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
69		ltletr 9676	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -u ( |_ ` -u B ) e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
70	68, 69	mpd3an3 1325	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
71	65, 70	mpan2d 674	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
72	63, 71	sylbird 235	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
73	72	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
74	62, 73	pm2.61d 158	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
75		flval 11899	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
76	75	ad3antrrr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
77		ceim1l 11942	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
78	77	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
79		peano2rem 9886	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
80	67, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
81	80	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
82		ltletr 9676	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < A ) )
83		ltle 9673	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
84	83	3adant2 1015	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
85	82, 84	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
86	85	3com13 1201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
87	81, 86	mpd3an3 1325	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
88	78, 87	mpand 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
89	66	zcnd 10967	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. CC )
90		npcan 9829	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u ( |_ ` -u B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
91	89, 23, 90	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
92	91	breq2d 4459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
93	92	biimprd 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
95	88, 94	anim12d 563	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
96	95	ancomsd 454	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < -u ( |_ ` -u B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
97	96	impl 620	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
98		peano2zm 10906	. . . . . . . . . 10 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
99	66, 98	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
100		rebtwnz 11181	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
101		breq1 4450	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x <_ A <-> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
102		oveq1 6291	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) )
103	102	breq2d 4459	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
104	101, 103	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
105	104	riota2 6268	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
106	99, 100, 105	syl2anr 478	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
107	106	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
108	97, 107	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
109	76, 108	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
110	77	ad3antlr 730	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
111	109, 110	eqbrtrd 4467	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) < B )
112	111	ex 434	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
113		flle 11904	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
114	113	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
115	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
116		lelttr 9675	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
117	116	3coml 1203	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
118	115, 117	mpd3an3 1325	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
119	114, 118	mpand 675	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( |_ ` A ) < B ) )
120	63, 119	sylbird 235	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
121	120	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
122	112, 121	pm2.61d 158	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( |_ ` A ) < B )
123	74, 122	impbida 830	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   E!wreu 2816   class class class wbr 4447   ` cfv 5588   iota_crio 6244  (class class class)co 6284   CCcc 9490   RRcr 9491   1c1 9493   + caddc 9495   < clt 9628   <_ cle 9629   - cmin 9805   -ucneg 9806   ZZcz 10864   |_cfl 11895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-sup 7901  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fl 11897

This theorem is referenced by:  leceifl  29649