Theorem ltflcei 28424

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 11655	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	ad3antrrr 729	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		renegcl 9677	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
4		flval 11649	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
6	5	ad3antlr 730	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
7		fllep1 11656	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
8	7	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
9		reflcl 11651	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
10		peano2re 9547	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` A ) e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
12	11	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		letr 9473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14	12, 13	mpd3an3 1315	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	8, 14	mpan2d 674	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
16		leneg 9847	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
17	11, 16	sylan2 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
18	15, 17	sylibd 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
19	18	ancoms 453	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
20		ltneg 9844	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
21	9, 20	sylan 471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
22	9	recnd 9417	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
23		ax-1cn 9345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
24		negdi2 9672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) )
25	24	oveq1d 6111	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) )
26		negcl 9615	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> -u ( |_ ` A ) e. CC )
27		npcan 9624	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
28	26, 27	sylan 471	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
29	25, 28	eqtr2d 2476	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
30	22, 23, 29	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
31	30	breq2d 4309	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
33	21, 32	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
34	33	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B -> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
35	19, 34	anim12d 563	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
36	35	ancomsd 454	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
37	36	impl 620	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
38		flcl 11650	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
39	38	peano2zd 10755	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
40	39	znegcld 10754	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
41		rebtwnz 10957	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
42	3, 41	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
43		breq1 4300	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x <_ -u B <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
44		oveq1 6103	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x + 1 ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
45	44	breq2d 4309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( -u B < ( x + 1 ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
46	43, 45	anbi12d 710	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) <-> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
47	46	riota2 6080	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
48	40, 42, 47	syl2an 477	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
49	48	ad2antrr 725	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
50	37, 49	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
51	6, 50	eqtrd 2475	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
52	38	zcnd 10753	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
53		peano2cn 9546	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
55	3	flcld 11653	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
56	55	zcnd 10753	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. CC )
57		negcon2 9667	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC /\ ( |_ ` -u B ) e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
58	54, 56, 57	syl2an 477	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	58	ad2antrr 725	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
60	51, 59	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
61	2, 60	breqtrd 4321	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
62	61	ex 434	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
63		ltnle 9459	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
64		ceige 11689	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
65	64	adantl 466	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
66		ceicl 11687	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
67	66	zred 10752	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
68	67	adantl 466	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
69		ltletr 9471	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -u ( |_ ` -u B ) e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
70	68, 69	mpd3an3 1315	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
71	65, 70	mpan2d 674	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
72	63, 71	sylbird 235	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
73	72	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
74	62, 73	pm2.61d 158	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
75		flval 11649	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
76	75	ad3antrrr 729	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
77		ceim1l 11691	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
78	77	adantl 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
79		peano2rem 9680	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
80	67, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
81	80	adantl 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
82		ltletr 9471	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < A ) )
83		ltle 9468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
84	83	3adant2 1007	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
85	82, 84	syld 44	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
86	85	3com13 1192	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
87	81, 86	mpd3an3 1315	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
88	78, 87	mpand 675	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
89	66	zcnd 10753	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. CC )
90		npcan 9624	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u ( |_ ` -u B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
91	89, 23, 90	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
92	91	breq2d 4309	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
93	92	biimprd 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
94	93	adantl 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
95	88, 94	anim12d 563	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
96	95	ancomsd 454	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < -u ( |_ ` -u B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
97	96	impl 620	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
98		peano2zm 10693	. . . . . . . . . 10 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
99	66, 98	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
100		rebtwnz 10957	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
101		breq1 4300	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x <_ A <-> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
102		oveq1 6103	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) )
103	102	breq2d 4309	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
104	101, 103	anbi12d 710	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
105	104	riota2 6080	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
106	99, 100, 105	syl2anr 478	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
107	106	ad2antrr 725	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
108	97, 107	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
109	76, 108	eqtrd 2475	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
110	77	ad3antlr 730	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
111	109, 110	eqbrtrd 4317	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) < B )
112	111	ex 434	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
113		flle 11654	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
114	113	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
115	9	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
116		lelttr 9470	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
117	116	3coml 1194	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
118	115, 117	mpd3an3 1315	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
119	114, 118	mpand 675	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( |_ ` A ) < B ) )
120	63, 119	sylbird 235	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
121	120	adantr 465	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
122	112, 121	pm2.61d 158	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( |_ ` A ) < B )
123	74, 122	impbida 828	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   E!wreu 2722   class class class wbr 4297   ` cfv 5423   iota_crio 6056  (class class class)co 6096   CCcc 9285   RRcr 9286   1c1 9288   + caddc 9290   < clt 9423   <_ cle 9424   - cmin 9600   -ucneg 9601   ZZcz 10651   |_cfl 11645

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-er 7106  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-sup 7696  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fl 11647

This theorem is referenced by:  leceifl  28425