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Theorem ltflcei 31933
Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
ltflcei  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 12036 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21ad3antrrr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 renegcl 9937 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
4 flval 12030 . . . . . . . . 9  |-  ( -u B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B
)  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) ) )
65ad3antlr 737 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( |_ `  -u B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) ) )
7 fllep1 12037 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
87adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
9 reflcl 12032 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
10 peano2re 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
1211adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
13 letr 9727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  A  /\  A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1412, 13mpd3an3 1365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
158, 14mpan2d 680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
16 leneg 10117 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( B  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 )  <->  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
1711, 16sylan2 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 )  <->  -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B ) )
1815, 17sylibd 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
1918ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
20 ltneg 10114 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  -u ( |_ `  A ) ) )
219, 20sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  -u ( |_ `  A ) ) )
229recnd 9669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
23 ax-1cn 9597 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
24 negdi2 9932 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  =  (
-u ( |_ `  A )  -  1 ) )
2524oveq1d 6305 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( -u ( |_
`  A )  - 
1 )  +  1 ) )
26 negcl 9875 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  A )  e.  CC  ->  -u ( |_ `  A )  e.  CC )
27 npcan 9884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u ( |_ `  A )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  A )  -  1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  A ) )
2826, 27sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  A )  - 
1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  A ) )
2925, 28eqtr2d 2486 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( |_ `  A )  =  (
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) )
3022, 23, 29sylancl 668 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  -u ( |_ `  A )  =  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )
3130breq2d 4414 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u B  <  -u ( |_ `  A )  <->  -u B  < 
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3231adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u B  <  -u ( |_ `  A
)  <->  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3321, 32bitrd 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3433biimpd 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  -> 
-u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3519, 34anim12d 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3635ancomsd 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  < 
B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3736impl 626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
38 flcl 12031 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
3938peano2zd 11043 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
4039znegcld 11042 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
41 rebtwnz 11263 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )
43 breq1 4405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
x  <_  -u B  <->  -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B ) )
44 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  +  1 ) )
4544breq2d 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  ( -u B  <  ( x  +  1 )  <->  -u B  < 
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
4643, 45anbi12d 717 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) )  <->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
4746riota2 6274 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) )  ->  (
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
4840, 42, 47syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
4948ad2antrr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
5037, 49mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  =  -u (
( |_ `  A
)  +  1 ) )
516, 50eqtrd 2485 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( |_ `  -u B )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
5238zcnd 11041 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
53 peano2cn 9805 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  CC  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  CC )
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  CC )
553flcld 12034 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  e.  ZZ )
5655zcnd 11041 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  e.  CC )
57 negcon2 9927 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  CC  /\  ( |_ `  -u B
)  e.  CC )  ->  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  = 
-u ( |_ `  -u B )  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5854, 56, 57syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B
)  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5958ad2antrr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B )  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
6051, 59mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B ) )
612, 60breqtrd 4427 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )
6261ex 436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) ) )
63 ltnle 9713 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
64 ceige 12072 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_ 
-u ( |_ `  -u B ) )
6564adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  -u ( |_
`  -u B ) )
66 ceicl 12070 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  ZZ )
6766zred 11040 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  RR )
6867adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u ( |_ `  -u B )  e.  RR )
69 ltletr 9725 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  -u ( |_ `  -u B )  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7068, 69mpd3an3 1365 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <_  -u ( |_ `  -u B
) )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7165, 70mpan2d 680 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7263, 71sylbird 239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7372adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7462, 73pm2.61d 162 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) )
75 flval 12030 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
7675ad3antrrr 736 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) ) )
77 ceim1l 12074 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B )
7877adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <  B
)
79 peano2rem 9941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( |_ `  -u B
)  e.  RR  ->  (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  e.  RR )
8067, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  RR )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR )
82 ltleletr 9726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
83823com13 1213 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
8481, 83mpd3an3 1365 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
8578, 84mpand 681 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
8666zcnd 11041 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  CC )
87 npcan 9884 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u ( |_ `  -u B )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 )  = 
-u ( |_ `  -u B ) )
8886, 23, 87sylancl 668 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( -u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B ) )
8988breq2d 4414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 )  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) ) )
9089biimprd 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  -u ( |_ `  -u B )  ->  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) )
9190adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  -u ( |_ `  -u B )  ->  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
9285, 91anim12d 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9392ancomsd 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <  -u ( |_ `  -u B
)  /\  B  <_  A )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9493impl 626 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A  /\  A  <  ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 ) ) )
95 peano2zm 10980 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( |_ `  -u B
)  e.  ZZ  ->  (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  e.  ZZ )
9666, 95syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  ZZ )
97 rebtwnz 11263 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
98 breq1 4405 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
x  <_  A  <->  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
99 oveq1 6297 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) )
10099breq2d 4414 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) )
10198, 100anbi12d 717 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A  /\  A  <  ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
102101riota2 6274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 ) ) )
10396, 97, 102syl2anr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 ) ) )
104103ad2antrr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 ) ) )
10594, 104mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 ) )
10676, 105eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  =  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 ) )
10777ad3antlr 737 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( -u ( |_ `  -u B )  -  1 )  <  B )
108106, 107eqbrtrd 4423 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  <  B )
109108ex 436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
110 flle 12035 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
111110adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
1129adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
113 lelttr 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  B )  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
1141133coml 1215 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  B )  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
115112, 114mpd3an3 1365 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
116111, 115mpand 681 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( |_ `  A
)  <  B )
)
11763, 116sylbird 239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
118117adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
119109, 118pm2.61d 162 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( |_ `  A )  <  B
)
12074, 119impbida 843 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   E!wreu 2739   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    < clt 9675    <_ cle 9676    - cmin 9860   -ucneg 9861   ZZcz 10937   |_cfl 12026
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fl 12028
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