Theorem ltflcei 30283

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 11918	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	ad3antrrr 727	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		renegcl 9873	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
4		flval 11912	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
5	3, 4	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
6	5	ad3antlr 728	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
7		fllep1 11919	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
8	7	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
9		reflcl 11914	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
10		peano2re 9742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` A ) e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
12	11	adantl 464	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		letr 9667	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14	12, 13	mpd3an3 1323	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	8, 14	mpan2d 672	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
16		leneg 10051	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
17	11, 16	sylan2 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
18	15, 17	sylibd 214	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
19	18	ancoms 451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
20		ltneg 10048	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
21	9, 20	sylan 469	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
22	9	recnd 9611	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
23		ax-1cn 9539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
24		negdi2 9868	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) )
25	24	oveq1d 6285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) )
26		negcl 9811	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> -u ( |_ ` A ) e. CC )
27		npcan 9820	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
28	26, 27	sylan 469	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
29	25, 28	eqtr2d 2496	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
30	22, 23, 29	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
31	30	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 463	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
33	21, 32	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
34	33	biimpd 207	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B -> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
35	19, 34	anim12d 561	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
36	35	ancomsd 452	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
37	36	impl 618	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
38		flcl 11913	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
39	38	peano2zd 10968	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
40	39	znegcld 10967	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
41		rebtwnz 11182	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
42	3, 41	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
43		breq1 4442	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x <_ -u B <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
44		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x + 1 ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
45	44	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( -u B < ( x + 1 ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
46	43, 45	anbi12d 708	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) <-> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
47	46	riota2 6254	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
48	40, 42, 47	syl2an 475	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
49	48	ad2antrr 723	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
50	37, 49	mpbid 210	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
51	6, 50	eqtrd 2495	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
52	38	zcnd 10966	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
53		peano2cn 9741	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
54	52, 53	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
55	3	flcld 11916	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
56	55	zcnd 10966	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. CC )
57		negcon2 9863	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC /\ ( |_ ` -u B ) e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
58	54, 56, 57	syl2an 475	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	58	ad2antrr 723	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
60	51, 59	mpbird 232	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
61	2, 60	breqtrd 4463	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
62	61	ex 432	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
63		ltnle 9653	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
64		ceige 11954	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
65	64	adantl 464	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
66		ceicl 11952	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
67	66	zred 10965	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
68	67	adantl 464	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
69		ltletr 9665	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -u ( |_ ` -u B ) e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
70	68, 69	mpd3an3 1323	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
71	65, 70	mpan2d 672	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
72	63, 71	sylbird 235	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
73	72	adantr 463	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
74	62, 73	pm2.61d 158	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
75		flval 11912	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
76	75	ad3antrrr 727	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
77		ceim1l 11956	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
78	77	adantl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
79		peano2rem 9877	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
80	67, 79	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
81	80	adantl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
82		ltleletr 9666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
83	82	3com13 1199	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
84	81, 83	mpd3an3 1323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
85	78, 84	mpand 673	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
86	66	zcnd 10966	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. CC )
87		npcan 9820	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u ( |_ ` -u B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
88	86, 23, 87	sylancl 660	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
89	88	breq2d 4451	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
90	89	biimprd 223	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
91	90	adantl 464	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
92	85, 91	anim12d 561	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
93	92	ancomsd 452	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < -u ( |_ ` -u B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
94	93	impl 618	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
95		peano2zm 10903	. . . . . . . . . 10 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
96	66, 95	syl 16	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
97		rebtwnz 11182	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
98		breq1 4442	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x <_ A <-> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
99		oveq1 6277	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) )
100	99	breq2d 4451	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
101	98, 100	anbi12d 708	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
102	101	riota2 6254	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
103	96, 97, 102	syl2anr 476	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
104	103	ad2antrr 723	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
105	94, 104	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
106	76, 105	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
107	77	ad3antlr 728	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
108	106, 107	eqbrtrd 4459	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) < B )
109	108	ex 432	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
110		flle 11917	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
111	110	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
112	9	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
113		lelttr 9664	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
114	113	3coml 1201	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
115	112, 114	mpd3an3 1323	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
116	111, 115	mpand 673	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( |_ ` A ) < B ) )
117	63, 116	sylbird 235	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
118	117	adantr 463	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
119	109, 118	pm2.61d 158	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( |_ ` A ) < B )
120	74, 119	impbida 830	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   E!wreu 2806   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   < clt 9617   <_ cle 9618   - cmin 9796   -ucneg 9797   ZZcz 10860   |_cfl 11908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fl 11910

This theorem is referenced by:  leceifl  30284