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Theorem ltflcei 30283
Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
ltflcei  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 11918 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21ad3antrrr 727 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 renegcl 9873 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
4 flval 11912 . . . . . . . . 9  |-  ( -u B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B
)  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) ) )
65ad3antlr 728 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( |_ `  -u B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) ) )
7 fllep1 11919 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
87adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
9 reflcl 11914 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
10 peano2re 9742 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
1211adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
13 letr 9667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  A  /\  A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1412, 13mpd3an3 1323 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
158, 14mpan2d 672 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
16 leneg 10051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( B  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 )  <->  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
1711, 16sylan2 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 )  <->  -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B ) )
1815, 17sylibd 214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
1918ancoms 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
20 ltneg 10048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  -u ( |_ `  A ) ) )
219, 20sylan 469 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  -u ( |_ `  A ) ) )
229recnd 9611 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
23 ax-1cn 9539 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
24 negdi2 9868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  =  (
-u ( |_ `  A )  -  1 ) )
2524oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( -u ( |_
`  A )  - 
1 )  +  1 ) )
26 negcl 9811 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  A )  e.  CC  ->  -u ( |_ `  A )  e.  CC )
27 npcan 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u ( |_ `  A )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  A )  -  1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  A ) )
2826, 27sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  A )  - 
1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  A ) )
2925, 28eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( |_ `  A )  =  (
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) )
3022, 23, 29sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  -u ( |_ `  A )  =  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )
3130breq2d 4451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u B  <  -u ( |_ `  A )  <->  -u B  < 
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3231adantr 463 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u B  <  -u ( |_ `  A
)  <->  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3321, 32bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3433biimpd 207 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  -> 
-u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3519, 34anim12d 561 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3635ancomsd 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  < 
B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3736impl 618 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
38 flcl 11913 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
3938peano2zd 10968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
4039znegcld 10967 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
41 rebtwnz 11182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )
423, 41syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )
43 breq1 4442 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
x  <_  -u B  <->  -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B ) )
44 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  +  1 ) )
4544breq2d 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  ( -u B  <  ( x  +  1 )  <->  -u B  < 
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
4643, 45anbi12d 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) )  <->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
4746riota2 6254 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) )  ->  (
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
4840, 42, 47syl2an 475 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
4948ad2antrr 723 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
5037, 49mpbid 210 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  =  -u (
( |_ `  A
)  +  1 ) )
516, 50eqtrd 2495 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( |_ `  -u B )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
5238zcnd 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
53 peano2cn 9741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  CC  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  CC )
5452, 53syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  CC )
553flcld 11916 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  e.  ZZ )
5655zcnd 10966 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  e.  CC )
57 negcon2 9863 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  CC  /\  ( |_ `  -u B
)  e.  CC )  ->  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  = 
-u ( |_ `  -u B )  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5854, 56, 57syl2an 475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B
)  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5958ad2antrr 723 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B )  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
6051, 59mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B ) )
612, 60breqtrd 4463 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )
6261ex 432 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) ) )
63 ltnle 9653 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
64 ceige 11954 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_ 
-u ( |_ `  -u B ) )
6564adantl 464 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  -u ( |_
`  -u B ) )
66 ceicl 11952 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  ZZ )
6766zred 10965 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  RR )
6867adantl 464 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u ( |_ `  -u B )  e.  RR )
69 ltletr 9665 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  -u ( |_ `  -u B )  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7068, 69mpd3an3 1323 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <_  -u ( |_ `  -u B
) )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7165, 70mpan2d 672 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7263, 71sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7372adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7462, 73pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) )
75 flval 11912 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
7675ad3antrrr 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) ) )
77 ceim1l 11956 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B )
7877adantl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <  B
)
79 peano2rem 9877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( |_ `  -u B
)  e.  RR  ->  (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  e.  RR )
8067, 79syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  RR )
8180adantl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR )
82 ltleletr 9666 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
83823com13 1199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
8481, 83mpd3an3 1323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
8578, 84mpand 673 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
8666zcnd 10966 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  CC )
87 npcan 9820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u ( |_ `  -u B )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 )  = 
-u ( |_ `  -u B ) )
8886, 23, 87sylancl 660 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( -u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B ) )
8988breq2d 4451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 )  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) ) )
9089biimprd 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  -u ( |_ `  -u B )  ->  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) )
9190adantl 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  -u ( |_ `  -u B )  ->  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
9285, 91anim12d 561 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9392ancomsd 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <  -u ( |_ `  -u B
)  /\  B  <_  A )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9493impl 618 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A  /\  A  <  ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 ) ) )
95 peano2zm 10903 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( |_ `  -u B
)  e.  ZZ  ->  (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  e.  ZZ )
9666, 95syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  ZZ )
97 rebtwnz 11182 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
98 breq1 4442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
x  <_  A  <->  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
99 oveq1 6277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) )
10099breq2d 4451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) )
10198, 100anbi12d 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A  /\  A  <  ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
102101riota2 6254 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 ) ) )
10396, 97, 102syl2anr 476 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 ) ) )
104103ad2antrr 723 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 ) ) )
10594, 104mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 ) )
10676, 105eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  =  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 ) )
10777ad3antlr 728 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( -u ( |_ `  -u B )  -  1 )  <  B )
108106, 107eqbrtrd 4459 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  <  B )
109108ex 432 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
110 flle 11917 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
111110adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
1129adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
113 lelttr 9664 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  B )  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
1141133coml 1201 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  B )  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
115112, 114mpd3an3 1323 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
116111, 115mpand 673 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( |_ `  A
)  <  B )
)
11763, 116sylbird 235 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
118117adantr 463 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
119109, 118pm2.61d 158 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( |_ `  A )  <  B
)
12074, 119impbida 830 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   E!wreu 2806   class class class wbr 4439   ` cfv 5570   iota_crio 6231  (class class class)co 6270   CCcc 9479   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    < clt 9617    <_ cle 9618    - cmin 9796   -ucneg 9797   ZZcz 10860   |_cfl 11908
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-er 7303  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-sup 7893  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fl 11910
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