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Theorem ltflcei 31853
Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)
Assertion
Ref Expression
ltflcei  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 flltp1 12037 . . . . . 6  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
21ad3antrrr 735 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  A  <  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
3 renegcl 9939 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  -u B  e.  RR )
4 flval 12031 . . . . . . . . 9  |-  ( -u B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B
)  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) ) )
53, 4syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) ) )
65ad3antlr 736 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( |_ `  -u B )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) ) )
7 fllep1 12038 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
87adantl 468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  A  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) )
9 reflcl 12033 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  RR )
10 peano2re 9808 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( |_ `  A )  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
119, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )
1211adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )
13 letr 9729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( B  <_  A  /\  A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
1412, 13mpd3an3 1362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 ) )  ->  B  <_  ( ( |_ `  A
)  +  1 ) ) )
158, 14mpan2d 679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  ->  B  <_  ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
16 leneg 10119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  e.  RR  /\  ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  RR )  ->  ( B  <_ 
( ( |_ `  A )  +  1 )  <->  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
1711, 16sylan2 477 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  (
( |_ `  A
)  +  1 )  <->  -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B ) )
1815, 17sylibd 218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
1918ancoms 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B
) )
20 ltneg 10116 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  -u ( |_ `  A ) ) )
219, 20sylan 474 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  -u ( |_ `  A ) ) )
229recnd 9671 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
23 ax-1cn 9599 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
24 negdi2 9934 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  =  (
-u ( |_ `  A )  -  1 ) )
2524oveq1d 6318 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 )  =  ( ( -u ( |_
`  A )  - 
1 )  +  1 ) )
26 negcl 9877 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( |_ `  A )  e.  CC  ->  -u ( |_ `  A )  e.  CC )
27 npcan 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
-u ( |_ `  A )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  A )  -  1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  A ) )
2826, 27sylan 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  A )  - 
1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  A ) )
2925, 28eqtr2d 2465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  -> 
-u ( |_ `  A )  =  (
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) )
3022, 23, 29sylancl 667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  RR  ->  -u ( |_ `  A )  =  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )
3130breq2d 4433 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A  e.  RR  ->  ( -u B  <  -u ( |_ `  A )  <->  -u B  < 
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3231adantr 467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u B  <  -u ( |_ `  A
)  <->  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3321, 32bitrd 257 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3433biimpd 211 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  -> 
-u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
3519, 34anim12d 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3635ancomsd 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  < 
B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
3736impl 625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
38 flcl 12032 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  ZZ )
3938peano2zd 11045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
4039znegcld 11044 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  RR  ->  -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  ZZ )
41 rebtwnz 11265 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -u B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )
423, 41syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )
43 breq1 4424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
x  <_  -u B  <->  -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  <_  -u B ) )
44 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  +  1 ) )
4544breq2d 4433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  ( -u B  <  ( x  +  1 )  <->  -u B  < 
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  +  1 ) ) )
4643, 45anbi12d 716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  ->  (
( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) )  <->  ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) ) ) )
4746riota2 6287 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
-u ( ( |_
`  A )  +  1 )  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  (
x  +  1 ) ) )  ->  (
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
4840, 42, 47syl2an 480 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( -u (
( |_ `  A
)  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
4948ad2antrr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( -u ( ( |_
`  A )  +  1 )  <_  -u B  /\  -u B  <  ( -u ( ( |_ `  A )  +  1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) ) )
5037, 49mpbid 214 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( iota_ x  e.  ZZ  (
x  <_  -u B  /\  -u B  <  ( x  +  1 ) ) )  =  -u (
( |_ `  A
)  +  1 ) )
516, 50eqtrd 2464 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  ( |_ `  -u B )  = 
-u ( ( |_
`  A )  +  1 ) )
5238zcnd 11043 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  e.  CC )
53 peano2cn 9807 . . . . . . . . 9  |-  ( ( |_ `  A )  e.  CC  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  CC )
5452, 53syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  RR  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  e.  CC )
553flcld 12035 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  e.  ZZ )
5655zcnd 11043 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  ( |_ `  -u B )  e.  CC )
57 negcon2 9929 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  e.  CC  /\  ( |_ `  -u B
)  e.  CC )  ->  ( ( ( |_ `  A )  +  1 )  = 
-u ( |_ `  -u B )  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5854, 56, 57syl2an 480 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B
)  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
5958ad2antrr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( ( |_ `  A )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B )  <->  ( |_ `  -u B )  =  -u ( ( |_ `  A )  +  1 ) ) )
6051, 59mpbird 236 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  (
( |_ `  A
)  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B ) )
612, 60breqtrd 4446 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  < 
B )  /\  B  <_  A )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )
6261ex 436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) ) )
63 ltnle 9715 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  <->  -.  B  <_  A )
)
64 ceige 12073 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  RR  ->  B  <_ 
-u ( |_ `  -u B ) )
6564adantl 468 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  B  <_  -u ( |_
`  -u B ) )
66 ceicl 12071 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  ZZ )
6766zred 11042 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  RR )
6867adantl 468 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  -> 
-u ( |_ `  -u B )  e.  RR )
69 ltletr 9727 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  -u ( |_ `  -u B )  e.  RR )  ->  (
( A  <  B  /\  B  <_  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7068, 69mpd3an3 1362 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  < 
B  /\  B  <_  -u ( |_ `  -u B
) )  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7165, 70mpan2d 679 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7263, 71sylbird 239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7372adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  ( -.  B  <_  A  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
7462, 73pm2.61d 162 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  ( |_ `  A )  <  B
)  ->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) )
75 flval 12031 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) ) )
7675ad3antrrr 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  =  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) ) )
77 ceim1l 12075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B )
7877adantl 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <  B
)
79 peano2rem 9943 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( -u ( |_ `  -u B
)  e.  RR  ->  (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  e.  RR )
8067, 79syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  RR )
8180adantl 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR )
82 ltleletr 9728 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
83823com13 1211 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
8481, 83mpd3an3 1362 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <  B  /\  B  <_  A )  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A ) )
8578, 84mpand 680 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( B  <_  A  ->  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
8666zcnd 11043 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( B  e.  RR  ->  -u ( |_ `  -u B )  e.  CC )
87 npcan 9886 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
-u ( |_ `  -u B )  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 )  = 
-u ( |_ `  -u B ) )
8886, 23, 87sylancl 667 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  e.  RR  ->  (
( -u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 )  =  -u ( |_ `  -u B ) )
8988breq2d 4433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 )  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B
) ) )
9089biimprd 227 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  RR  ->  ( A  <  -u ( |_ `  -u B )  ->  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) )
9190adantl 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  -u ( |_ `  -u B )  ->  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) ) )
9285, 91anim12d 566 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( B  <_  A  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9392ancomsd 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( A  <  -u ( |_ `  -u B
)  /\  B  <_  A )  ->  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) ) )
9493impl 625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A  /\  A  <  ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 ) ) )
95 peano2zm 10982 . . . . . . . . . 10  |-  ( -u ( |_ `  -u B
)  e.  ZZ  ->  (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  e.  ZZ )
9666, 95syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( B  e.  RR  ->  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  e.  ZZ )
97 rebtwnz 11265 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  RR  ->  E! x  e.  ZZ  (
x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )
98 breq1 4424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
x  <_  A  <->  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A
) )
99 oveq1 6310 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
x  +  1 )  =  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) )
10099breq2d 4433 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  ( A  <  ( x  + 
1 )  <->  A  <  ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  +  1 ) ) )
10198, 100anbi12d 716 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  ->  (
( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) )  <-> 
( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  <_  A  /\  A  <  ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  +  1 ) ) ) )
102101riota2 6287 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 )  e.  ZZ  /\  E! x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  ->  ( ( (
-u ( |_ `  -u B )  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  +  1 ) )  <-> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 ) ) )
10396, 97, 102syl2anr 481 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 ) ) )
104103ad2antrr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( ( ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 )  <_  A  /\  A  <  ( ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 )  +  1 ) )  <->  ( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  +  1 ) ) )  =  ( -u ( |_
`  -u B )  - 
1 ) ) )
10594, 104mpbid 214 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( iota_ x  e.  ZZ  ( x  <_  A  /\  A  <  ( x  + 
1 ) ) )  =  ( -u ( |_ `  -u B )  - 
1 ) )
10676, 105eqtrd 2464 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  =  ( -u ( |_ `  -u B
)  -  1 ) )
10777ad3antlr 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( -u ( |_ `  -u B )  -  1 )  <  B )
108106, 107eqbrtrd 4442 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  /\  B  <_  A )  -> 
( |_ `  A
)  <  B )
109108ex 436 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
110 flle 12036 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  RR  ->  ( |_ `  A )  <_  A )
111110adantr 467 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  <_  A )
1129adantr 467 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( |_ `  A
)  e.  RR )
113 lelttr 9726 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( |_ `  A
)  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  B )  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
1141133coml 1213 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( |_ `  A )  e.  RR )  ->  (
( ( |_ `  A )  <_  A  /\  A  <  B )  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
115112, 114mpd3an3 1362 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( ( |_
`  A )  <_  A  /\  A  <  B
)  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
116111, 115mpand 680 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  <  B  ->  ( |_ `  A
)  <  B )
)
11763, 116sylbird 239 . . . 4  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
118117adantr 467 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( -.  B  <_  A  ->  ( |_ `  A )  <  B
) )
119109, 118pm2.61d 162 . 2  |-  ( ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  <  -u ( |_ `  -u B ) )  ->  ( |_ `  A )  <  B
)
12074, 119impbida 841 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( ( |_ `  A )  <  B  <->  A  <  -u ( |_ `  -u B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 188    /\ wa 371    = wceq 1438    e. wcel 1869   E!wreu 2778   class class class wbr 4421   ` cfv 5599   iota_crio 6264  (class class class)co 6303   CCcc 9539   RRcr 9540   1c1 9542    + caddc 9544    < clt 9677    <_ cle 9678    - cmin 9862   -ucneg 9863   ZZcz 10939   |_cfl 12027
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-iun 4299  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-om 6705  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-er 7369  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-sup 7960  df-inf 7961  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-nn 10612  df-n0 10872  df-z 10940  df-uz 11162  df-fl 12029
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