Theorem ltflcei 31933

Description: Theorem to move the floor function across a strict inequality. (Contributed by Brendan Leahy, 25-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
ltflcei	|- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Proof of Theorem ltflcei

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		flltp1 12036	. . . . . 6 |- ( A e. RR -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
2	1	ad3antrrr 736	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
3		renegcl 9937	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u B e. RR )
4		flval 12030	. . . . . . . . 9 |- ( -u B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
5	3, 4	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
6	5	ad3antlr 737	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) )
7		fllep1 12037	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
8	7	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
9		reflcl 12032	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. RR )
10		peano2re 9806	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( |_ ` A ) e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
12	11	adantl 468	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR )
13		letr 9727	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
14	12, 13	mpd3an3 1365	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
15	8, 14	mpan2d 680	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
16		leneg 10117	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( B e. RR /\ ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
17	11, 16	sylan2 477	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ ( ( |_ ` A ) + 1 ) <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
18	15, 17	sylibd 218	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( B e. RR /\ A e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
19	18	ancoms 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
20		ltneg 10114	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
21	9, 20	sylan 474	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < -u ( |_ ` A ) ) )
22	9	recnd 9669	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
23		ax-1cn 9597	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- 1 e. CC
24		negdi2 9932	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) = ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) )
25	24	oveq1d 6305	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) )
26		negcl 9875	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> -u ( |_ ` A ) e. CC )
27		npcan 9884	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( -u ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
28	26, 27	sylan 474	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` A ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` A ) )
29	25, 28	eqtr2d 2486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( |_ ` A ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
30	22, 23, 29	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( A e. RR -> -u ( |_ ` A ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
31	30	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( A e. RR -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
32	31	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u B < -u ( |_ ` A ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
33	21, 32	bitrd 257	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
34	33	biimpd 211	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B -> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
35	19, 34	anim12d 566	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
36	35	ancomsd 456	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
37	36	impl 626	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
38		flcl 12031	. . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. ZZ )
39	38	peano2zd 11043	. . . . . . . . . . 11 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
40	39	znegcld 11042	. . . . . . . . . 10 |- ( A e. RR -> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ )
41		rebtwnz 11263	. . . . . . . . . . 11 |- ( -u B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
42	3, 41	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( B e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) )
43		breq1 4405	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x <_ -u B <-> -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B ) )
44		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( x + 1 ) = ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) )
45	44	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( -u B < ( x + 1 ) <-> -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) )
46	43, 45	anbi12d 717	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) -> ( ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) <-> ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) ) )
47	46	riota2 6274	. . . . . . . . . 10 |- ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
48	40, 42, 47	syl2an 480	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
49	48	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) <_ -u B /\ -u B < ( -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
50	37, 49	mpbid 214	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ -u B /\ -u B < ( x + 1 ) ) ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
51	6, 50	eqtrd 2485	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) )
52	38	zcnd 11041	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) e. CC )
53		peano2cn 9805	. . . . . . . . 9 |- ( ( |_ ` A ) e. CC -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
54	52, 53	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( A e. RR -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC )
55	3	flcld 12034	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
56	55	zcnd 11041	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> ( |_ ` -u B ) e. CC )
57		negcon2 9927	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) e. CC /\ ( |_ ` -u B ) e. CC ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
58	54, 56, 57	syl2an 480	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
59	58	ad2antrr 732	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) <-> ( |_ ` -u B ) = -u ( ( |_ ` A ) + 1 ) ) )
60	51, 59	mpbird 236	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> ( ( |_ ` A ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
61	2, 60	breqtrd 4427	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) /\ B <_ A ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
62	61	ex 436	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
63		ltnle 9713	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B <-> -. B <_ A ) )
64		ceige 12072	. . . . . . 7 |- ( B e. RR -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
65	64	adantl 468	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> B <_ -u ( |_ ` -u B ) )
66		ceicl 12070	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ )
67	66	zred 11040	. . . . . . . 8 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
68	67	adantl 468	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> -u ( |_ ` -u B ) e. RR )
69		ltletr 9725	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ -u ( |_ ` -u B ) e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
70	68, 69	mpd3an3 1365	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < B /\ B <_ -u ( |_ ` -u B ) ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
71	65, 70	mpan2d 680	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
72	63, 71	sylbird 239	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
73	72	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> ( -. B <_ A -> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
74	62, 73	pm2.61d 162	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ ( |_ ` A ) < B ) -> A < -u ( |_ ` -u B ) )
75		flval 12030	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
76	75	ad3antrrr 736	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) )
77		ceim1l 12074	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
78	77	adantl 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
79		peano2rem 9941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
80	67, 79	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
81	80	adantl 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR )
82		ltleletr 9726	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR /\ B e. RR /\ A e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
83	82	3com13 1213	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
84	81, 83	mpd3an3 1365	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
85	78, 84	mpand 681	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( B <_ A -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
86	66	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( B e. RR -> -u ( |_ ` -u B ) e. CC )
87		npcan 9884	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( -u ( |_ ` -u B ) e. CC /\ 1 e. CC ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
88	86, 23, 87	sylancl 668	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( B e. RR -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) = -u ( |_ ` -u B ) )
89	88	breq2d 4414	. . . . . . . . . . . 12 |- ( B e. RR -> ( A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )
90	89	biimprd 227	. . . . . . . . . . 11 |- ( B e. RR -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
91	90	adantl 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < -u ( |_ ` -u B ) -> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
92	85, 91	anim12d 566	. . . . . . . . 9 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( B <_ A /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
93	92	ancomsd 456	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( A < -u ( |_ ` -u B ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
94	93	impl 626	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
95		peano2zm 10980	. . . . . . . . . 10 |- ( -u ( |_ ` -u B ) e. ZZ -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
96	66, 95	syl 17	. . . . . . . . 9 |- ( B e. RR -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ )
97		rebtwnz 11263	. . . . . . . . 9 |- ( A e. RR -> E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) )
98		breq1 4405	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x <_ A <-> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A ) )
99		oveq1 6297	. . . . . . . . . . . 12 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( x + 1 ) = ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) )
100	99	breq2d 4414	. . . . . . . . . . 11 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( A < ( x + 1 ) <-> A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) )
101	98, 100	anbi12d 717	. . . . . . . . . 10 |- ( x = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) -> ( ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) <-> ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) ) )
102	101	riota2 6274	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) e. ZZ /\ E! x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
103	96, 97, 102	syl2anr 481	. . . . . . . 8 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
104	103	ad2antrr 732	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) <_ A /\ A < ( ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) + 1 ) ) <-> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) ) )
105	94, 104	mpbid 214	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( iota_ x e. ZZ ( x <_ A /\ A < ( x + 1 ) ) ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
106	76, 105	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) = ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) )
107	77	ad3antlr 737	. . . . 5 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( -u ( |_ ` -u B ) - 1 ) < B )
108	106, 107	eqbrtrd 4423	. . . 4 |- ( ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) /\ B <_ A ) -> ( |_ ` A ) < B )
109	108	ex 436	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
110		flle 12035	. . . . . . 7 |- ( A e. RR -> ( |_ ` A ) <_ A )
111	110	adantr 467	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) <_ A )
112	9	adantr 467	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( |_ ` A ) e. RR )
113		lelttr 9724	. . . . . . . 8 |- ( ( ( |_ ` A ) e. RR /\ A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
114	113	3coml 1215	. . . . . . 7 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR /\ ( |_ ` A ) e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
115	112, 114	mpd3an3 1365	. . . . . 6 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( ( |_ ` A ) <_ A /\ A < B ) -> ( |_ ` A ) < B ) )
116	111, 115	mpand 681	. . . . 5 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( A < B -> ( |_ ` A ) < B ) )
117	63, 116	sylbird 239	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
118	117	adantr 467	. . 3 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( -. B <_ A -> ( |_ ` A ) < B ) )
119	109, 118	pm2.61d 162	. 2 |- ( ( ( A e. RR /\ B e. RR ) /\ A < -u ( |_ ` -u B ) ) -> ( |_ ` A ) < B )
120	74, 119	impbida 843	1 |- ( ( A e. RR /\ B e. RR ) -> ( ( |_ ` A ) < B <-> A < -u ( |_ ` -u B ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   E!wreu 2739   class class class wbr 4402   ` cfv 5582   iota_crio 6251  (class class class)co 6290   CCcc 9537   RRcr 9538   1c1 9540   + caddc 9542   < clt 9675   <_ cle 9676   - cmin 9860   -ucneg 9861   ZZcz 10937   |_cfl 12026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-er 7363  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-sup 7956  df-inf 7957  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fl 12028

This theorem is referenced by:  leceifl  31934