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Theorem ltexprlem6 9314
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem6
Dummy variables  z  w  v  f  g  h  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 9313 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 df-plp 9256 . . . . . 6  |-  +P.  =  ( z  e.  P. ,  y  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  z  E. h  e.  y  f  =  ( g  +Q  h ) } )
4 addclnq 9218 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
53, 4genpelv 9273 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C )  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
62, 5sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )
)  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
71abeq2i 2578 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
8 elprnq 9264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
9 addnqf 9221 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
109fdmi 5665 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
11 0nnq 9197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  (/)  e.  Q.
1210, 11ndmovrcl 6352 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
1312simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
148, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  y  e.  Q. )
15 prub 9267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y ) )
1614, 15sylan2 474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y )
)
1712simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
18 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
19 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
20 ltanq 9244 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
z  <Q  v  <->  ( u  +Q  z )  <Q  (
u  +Q  v ) ) )
21 vex 3074 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
22 addcomnq 9224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  +Q  v )  =  ( v  +Q  z
)
2318, 19, 20, 21, 22caovord2 6378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
w  <Q  y  <->  ( w  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
248, 17, 233syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  <-> 
( w  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
25 prcdnq 9266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( w  +Q  x )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2624, 25sylbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2726adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  (
w  <Q  y  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
2816, 27syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) )
2928exp32 605 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) ) ) )
3029com34 83 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( (
y  +Q  x )  e.  B  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) ) ) )
3130imp4b 590 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3231exlimdv 1691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
337, 32syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3433exp31 604 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  A  -> 
( B  e.  P.  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3534com23 78 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  A  -> 
( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3635imp43 595 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( w  e.  A  /\  x  e.  C
) )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B )
37 eleq1 2523 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  +Q  x )  ->  (
z  e.  B  <->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3837biimparc 487 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  +Q  x
)  e.  B  /\  z  =  ( w  +Q  x ) )  -> 
z  e.  B )
3936, 38sylan 471 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
w  e.  A  /\  x  e.  C )
)  /\  z  =  ( w  +Q  x
) )  ->  z  e.  B )
4039exp31 604 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( w  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  =  ( w  +Q  x )  -> 
z  e.  B ) ) )
4140rexlimdvv 2946 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B
) )
4241adantrr 716 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )
)  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B ) )
436, 42sylbid 215 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )
)  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  ->  z  e.  B ) )
4443ssrdv 3463 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )
)  ->  ( A  +P.  C )  C_  B
)
4544anassrs 648 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370   E.wex 1587    e. wcel 1758   {cab 2436   E.wrex 2796    C_ wss 3429    C. wpss 3430   class class class wbr 4393    X. cxp 4939  (class class class)co 6193   Q.cnq 9123    +Q cplq 9126    <Q cltq 9129   P.cnp 9130    +P. cpp 9132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-oadd 7027  df-omul 7028  df-er 7204  df-ni 9145  df-pli 9146  df-mi 9147  df-lti 9148  df-plpq 9181  df-mpq 9182  df-ltpq 9183  df-enq 9184  df-nq 9185  df-erq 9186  df-plq 9187  df-mq 9188  df-1nq 9189  df-ltnq 9191  df-np 9254  df-plp 9256
This theorem is referenced by:  ltexpri  9316
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