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Theorem ltexprlem6 9484
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 8-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Jun-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem6  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem6
Dummy variables  z  w  v  f  g  h  u are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem5 9483 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
3 df-plp 9426 . . . . . 6  |-  +P.  =  ( z  e.  P. ,  y  e.  P.  |->  { f  |  E. g  e.  z  E. h  e.  y  f  =  ( g  +Q  h ) } )
4 addclnq 9388 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q.  /\  h  e.  Q. )  ->  ( g  +Q  h
)  e.  Q. )
53, 4genpelv 9443 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  C  e.  P. )  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C )  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
62, 5sylan2 482 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )
)  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  <->  E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x ) ) )
71abeq2i 2583 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
8 elprnq 9434 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
9 addnqf 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
109fdmi 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
11 0nnq 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  -.  (/)  e.  Q.
1210, 11ndmovrcl 6474 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
1312simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
148, 13syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  y  e.  Q. )
15 prub 9437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  y  e.  Q. )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y ) )
1614, 15sylan2 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  w  <Q  y )
)
1712simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  x  e.  Q. )
18 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  w  e. 
_V
19 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  y  e. 
_V
20 ltanq 9414 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( u  e.  Q.  ->  (
z  <Q  v  <->  ( u  +Q  z )  <Q  (
u  +Q  v ) ) )
21 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  x  e. 
_V
22 addcomnq 9394 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  +Q  v )  =  ( v  +Q  z
)
2318, 19, 20, 21, 22caovord2 6500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( x  e.  Q.  ->  (
w  <Q  y  <->  ( w  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
248, 17, 233syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  <-> 
( w  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
25 prcdnq 9436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( w  +Q  x )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2624, 25sylbid 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  <Q  y  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
2726adantl 473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  (
w  <Q  y  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
2816, 27syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  ( B  e. 
P.  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) )
2928exp32 616 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) ) ) )
3029com34 85 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  ->  ( B  e.  P.  ->  ( -.  y  e.  A  ->  ( (
y  +Q  x )  e.  B  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) ) ) )
3130imp4b 601 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3231exlimdv 1787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B ) )
337, 32syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  w  e.  A )  /\  B  e.  P. )  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3433exp31 615 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  P.  ->  (
w  e.  A  -> 
( B  e.  P.  ->  ( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3534com23 80 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  P.  ->  ( B  e.  P.  ->  ( w  e.  A  -> 
( x  e.  C  ->  ( w  +Q  x
)  e.  B ) ) ) )
3635imp43 606 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  ( w  e.  A  /\  x  e.  C
) )  ->  (
w  +Q  x )  e.  B )
37 eleq1 2537 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( w  +Q  x )  ->  (
z  e.  B  <->  ( w  +Q  x )  e.  B
) )
3837biimparc 495 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( w  +Q  x
)  e.  B  /\  z  =  ( w  +Q  x ) )  -> 
z  e.  B )
3936, 38sylan 479 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( A  e. 
P.  /\  B  e.  P. )  /\  (
w  e.  A  /\  x  e.  C )
)  /\  z  =  ( w  +Q  x
) )  ->  z  e.  B )
4039exp31 615 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( ( w  e.  A  /\  x  e.  C )  ->  (
z  =  ( w  +Q  x )  -> 
z  e.  B ) ) )
4140rexlimdvv 2877 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B
) )
4241adantrr 731 . . . 4  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )
)  ->  ( E. w  e.  A  E. x  e.  C  z  =  ( w  +Q  x )  ->  z  e.  B ) )
436, 42sylbid 223 . . 3  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )
)  ->  ( z  e.  ( A  +P.  C
)  ->  z  e.  B ) )
4443ssrdv 3424 . 2  |-  ( ( A  e.  P.  /\  ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )
)  ->  ( A  +P.  C )  C_  B
)
4544anassrs 660 1  |-  ( ( ( A  e.  P.  /\  B  e.  P. )  /\  A  C.  B )  ->  ( A  +P.  C )  C_  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   E.wrex 2757    C_ wss 3390    C. wpss 3391   class class class wbr 4395    X. cxp 4837  (class class class)co 6308   Q.cnq 9295    +Q cplq 9298    <Q cltq 9301   P.cnp 9302    +P. cpp 9304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-pli 9316  df-mi 9317  df-lti 9318  df-plpq 9351  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-plq 9357  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-ltnq 9361  df-np 9424  df-plp 9426
This theorem is referenced by:  ltexpri  9486
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