MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem5 Unicode version

Theorem ltexprlem5 8873
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem5
Dummy variable  z is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21ltexprlem1 8869 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  C  =/=  (/) ) )
3 0pss 3625 . . . . 5  |-  ( (/)  C.  C  <->  C  =/=  (/) )
42, 3syl6ibr 219 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  ( A  C.  B  ->  (/)  C.  C
) )
54imp 419 . . 3  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  (/)  C.  C )
61ltexprlem2 8870 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C.  Q. )
76adantr 452 . . 3  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  C.  Q. )
81ltexprlem3 8871 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
91ltexprlem4 8872 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
10 df-rex 2672 . . . . . . 7  |-  ( E. z  e.  C  x 
<Q  z  <->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) )
119, 10syl6ibr 219 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z  e.  C  x  <Q  z ) )
128, 11jcad 520 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  -> 
( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C )  /\  E. z  e.  C  x 
<Q  z ) ) )
1312ralrimiv 2748 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  A. x  e.  C  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
)  /\  E. z  e.  C  x  <Q  z ) )
1413adantr 452 . . 3  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  A. x  e.  C  ( A. z ( z 
<Q  x  ->  z  e.  C )  /\  E. z  e.  C  x  <Q  z ) )
155, 7, 14jca31 521 . 2  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  -> 
( ( (/)  C.  C  /\  C  C.  Q. )  /\  A. x  e.  C  ( A. z ( z 
<Q  x  ->  z  e.  C )  /\  E. z  e.  C  x  <Q  z ) ) )
16 elnp 8820 . 2  |-  ( C  e.  P.  <->  ( ( (/)  C.  C  /\  C  C.  Q. )  /\  A. x  e.  C  ( A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
)  /\  E. z  e.  C  x  <Q  z ) ) )
1715, 16sylibr 204 1  |-  ( ( B  e.  P.  /\  A  C.  B )  ->  C  e.  P. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   A.wal 1546   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667    C. wpss 3281   (/)c0 3588   class class class wbr 4172  (class class class)co 6040   Q.cnq 8683    +Q cplq 8686    <Q cltq 8689   P.cnp 8690
This theorem is referenced by:  ltexprlem6  8874  ltexprlem7  8875  ltexpri  8876
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-ltnq 8751  df-np 8814
  Copyright terms: Public domain W3C validator