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Theorem ltexprlem4 9482
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 9438 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. w  e.  B  ( y  +Q  x
)  <Q  w )
2 df-rex 2762 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  B  ( y  +Q  x ) 
<Q  w  <->  E. w ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )
31, 2sylib 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. w ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )
4 ltrelnq 9369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4888 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
65simpld 466 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( y  +Q  x )  e. 
Q. )
7 addnqf 9391 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
87fdmi 5746 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
9 0nnq 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  e.  Q.
108, 9ndmovrcl 6474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
116, 10syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
12 ltaddnq 9417 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  y  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 ltsonq 9412 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <Q  Or  Q.
1413, 4sotri 5233 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  <Q  ( y  +Q  x )  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w )  ->  y  <Q  w )
1512, 14sylan 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
y  <Q  w )
1611, 15mpancom 682 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  y  <Q  w )
174brel 4888 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
<Q  w  ->  ( y  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
1817simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
<Q  w  ->  w  e. 
Q. )
19 ltexnq 9418 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  w  <->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w ) )
2019biimpd 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w ) )
2118, 20mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
<Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w )
2216, 21syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w )
23 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  <->  ( y  +Q  z )  =  w )
2423exbii 1726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  <->  E. z ( y  +Q  z )  =  w )
2522, 24sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  E. z  w  =  ( y  +Q  z ) )
2625ancri 561 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w
) )
2726anim2i 579 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
( w  e.  B  /\  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
28 an12 814 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. z  w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( w  e.  B  /\  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w
) ) )
2927, 28sylibr 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  (
w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) ) )
30 19.41v 1838 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( E. z  w  =  (
y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w ) ) )
3129, 30sylibr 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  ->  E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
3231eximi 1715 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w )  ->  E. w E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
33 excom 1944 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) )  <->  E. w E. z ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) ) )
3432, 33sylibr 217 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w )  ->  E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
35 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  +Q  z )  e. 
_V
36 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
w  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
37 breq2 4399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
( y  +Q  x
)  <Q  w  <->  ( y  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  z ) ) )
3836, 37anbi12d 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  <->  ( (
y  +Q  z )  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
) ) ) )
3935, 38ceqsexv 3070 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( (
y  +Q  z )  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
) ) )
40 ltanq 9414 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  <Q  z  <->  ( y  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  z ) ) )
418, 4, 9, 40ndmovordi 6479 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
)  ->  x  <Q  z )
4241anim2i 579 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +Q  z
)  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  z ) )  -> 
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4339, 42sylbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  -> 
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4443eximi 1715 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) )  ->  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
453, 34, 443syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4645anim2i 579 . . . . . 6  |-  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
4746an12s 818 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
48 19.42v 1842 . . . . 5  |-  ( E. z ( -.  y  e.  A  /\  (
( y  +Q  z
)  e.  B  /\  x  <Q  z ) )  <-> 
( -.  y  e.  A  /\  E. z
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
4947, 48sylibr 217 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
5049ex 441 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) ) )
5150eximdv 1772 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  E. y E. z ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) ) )
52 ltexprlem.1 . . 3  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
5352abeq2i 2583 . 2  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
54 vex 3034 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
55 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
5655eleq1d 2533 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
5756anbi2d 718 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
5857exbidv 1776 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
5954, 58, 52elab2 3176 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
6059anbi1i 709 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z ) )
61 19.41v 1838 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B )  /\  x  <Q  z
)  <->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z ) )
62 anass 661 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6362exbii 1726 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B )  /\  x  <Q  z
)  <->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6460, 61, 633bitr2i 281 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6564exbii 1726 . . 3  |-  ( E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. z E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
66 excom 1944 . . 3  |-  ( E. y E. z ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )  <->  E. z E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6765, 66bitr4i 260 . 2  |-  ( E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. y E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6851, 53, 673imtr4g 278 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 376    = wceq 1452   E.wex 1671    e. wcel 1904   {cab 2457   E.wrex 2757   class class class wbr 4395    X. cxp 4837  (class class class)co 6308   Q.cnq 9295    +Q cplq 9298    <Q cltq 9301   P.cnp 9302
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-pli 9316  df-mi 9317  df-lti 9318  df-plpq 9351  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-plq 9357  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-ltnq 9361  df-np 9424
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9483
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