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Theorem ltexprlem4 9200
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem4  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem4
Dummy variable  w is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 prnmax 9156 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. w  e.  B  ( y  +Q  x
)  <Q  w )
2 df-rex 2716 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w  e.  B  ( y  +Q  x ) 
<Q  w  <->  E. w ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )
31, 2sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. w ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )
4 ltrelnq 9087 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  <Q  C_  ( Q.  X.  Q. )
54brel 4882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
65simpld 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( y  +Q  x )  e. 
Q. )
7 addnqf 9109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
87fdmi 5559 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
9 0nnq 9085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  -.  (/)  e.  Q.
108, 9ndmovrcl 6244 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
116, 10syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. ) )
12 ltaddnq 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  y  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 ltsonq 9130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  <Q  Or  Q.
1413, 4sotri 5220 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( y  <Q  ( y  +Q  x )  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w )  ->  y  <Q  w )
1512, 14sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
y  <Q  w )
1611, 15mpancom 669 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  y  <Q  w )
174brel 4882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y 
<Q  w  ->  ( y  e.  Q.  /\  w  e.  Q. ) )
1817simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y 
<Q  w  ->  w  e. 
Q. )
19 ltexnq 9136 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  w  <->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w ) )
2019biimpd 207 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( w  e.  Q.  ->  (
y  <Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w ) )
2118, 20mpcom 36 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
<Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w )
2216, 21syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  E. z
( y  +Q  z
)  =  w )
23 eqcom 2440 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  <->  ( y  +Q  z )  =  w )
2423exbii 1634 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  <->  E. z ( y  +Q  z )  =  w )
2522, 24sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  E. z  w  =  ( y  +Q  z ) )
2625ancri 552 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  w  ->  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w
) )
2726anim2i 569 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
( w  e.  B  /\  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
28 an12 795 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( E. z  w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( w  e.  B  /\  ( E. z  w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w
) ) )
2927, 28sylibr 212 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  -> 
( E. z  w  =  ( y  +Q  z )  /\  (
w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) ) )
30 19.41v 1919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( E. z  w  =  (
y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w ) ) )
3129, 30sylibr 212 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  ->  E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
3231eximi 1625 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w )  ->  E. w E. z ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
33 excom 1787 . . . . . . . . 9  |-  ( E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) )  <->  E. w E. z ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) ) )
3432, 33sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( E. w ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x )  <Q  w )  ->  E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) ) )
35 ovex 6111 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  +Q  z )  e. 
_V
36 eleq1 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
w  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
37 breq2 4291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
( y  +Q  x
)  <Q  w  <->  ( y  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  z ) ) )
3836, 37anbi12d 710 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( y  +Q  z )  ->  (
( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w )  <->  ( (
y  +Q  z )  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
) ) ) )
3935, 38ceqsexv 3004 . . . . . . . . . 10  |-  ( E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  <->  ( (
y  +Q  z )  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
) ) )
40 ltanq 9132 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
x  <Q  z  <->  ( y  +Q  x )  <Q  (
y  +Q  z ) ) )
418, 4, 9, 40ndmovordi 6249 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x ) 
<Q  ( y  +Q  z
)  ->  x  <Q  z )
4241anim2i 569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  +Q  z
)  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  ( y  +Q  z ) )  -> 
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4339, 42sylbi 195 . . . . . . . . 9  |-  ( E. w ( w  =  ( y  +Q  z
)  /\  ( w  e.  B  /\  (
y  +Q  x ) 
<Q  w ) )  -> 
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4443eximi 1625 . . . . . . . 8  |-  ( E. z E. w ( w  =  ( y  +Q  z )  /\  ( w  e.  B  /\  ( y  +Q  x
)  <Q  w ) )  ->  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
453, 34, 443syl 20 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )
4645anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( -.  y  e.  A  /\  ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B ) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
4746an12s 799 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  ( -.  y  e.  A  /\  E. z ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
48 19.42v 1923 . . . . 5  |-  ( E. z ( -.  y  e.  A  /\  (
( y  +Q  z
)  e.  B  /\  x  <Q  z ) )  <-> 
( -.  y  e.  A  /\  E. z
( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
4947, 48sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B
) )  ->  E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
5049ex 434 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) ) )
5150eximdv 1676 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  E. y E. z ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) ) )
52 ltexprlem.1 . . 3  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
5352abeq2i 2545 . 2  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
54 vex 2970 . . . . . . 7  |-  z  e. 
_V
55 oveq2 6094 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
5655eleq1d 2504 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
5756anbi2d 703 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
5857exbidv 1680 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
5954, 58, 52elab2 3104 . . . . . 6  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
6059anbi1i 695 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z ) )
61 19.41v 1919 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B )  /\  x  <Q  z
)  <->  ( E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z ) )
62 anass 649 . . . . . 6  |-  ( ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B )  /\  x  <Q  z )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6362exbii 1634 . . . . 5  |-  ( E. y ( ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B )  /\  x  <Q  z
)  <->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6460, 61, 633bitr2i 273 . . . 4  |-  ( ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6564exbii 1634 . . 3  |-  ( E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. z E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
66 excom 1787 . . 3  |-  ( E. y E. z ( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) )  <->  E. z E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6765, 66bitr4i 252 . 2  |-  ( E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z )  <->  E. y E. z
( -.  y  e.  A  /\  ( ( y  +Q  z )  e.  B  /\  x  <Q  z ) ) )
6851, 53, 673imtr4g 270 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  E. z ( z  e.  C  /\  x  <Q  z ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2424   E.wrex 2711   class class class wbr 4287    X. cxp 4833  (class class class)co 6086   Q.cnq 9011    +Q cplq 9014    <Q cltq 9017   P.cnp 9018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ni 9033  df-pli 9034  df-mi 9035  df-lti 9036  df-plpq 9069  df-mpq 9070  df-ltpq 9071  df-enq 9072  df-nq 9073  df-erq 9074  df-plq 9075  df-mq 9076  df-1nq 9077  df-ltnq 9079  df-np 9142
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9201
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