MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem3 Structured version   Unicode version

Theorem ltexprlem3 9199
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 6-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Distinct variable groups:    x, y,
z, A    x, B, y, z    x, C, z
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem3
StepHypRef Expression
1 elprnq 9152 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
2 addnqf 9109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
32fdmi 5559 . . . . . . . . . . . 12  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
4 0nnq 9085 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  (/)  e.  Q.
53, 4ndmovrcl 6244 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
65simpld 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  y  e.  Q. )
7 ltanq 9132 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  Q.  ->  (
z  <Q  x  <->  ( y  +Q  z )  <Q  (
y  +Q  x ) ) )
81, 6, 73syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x 
<->  ( y  +Q  z
)  <Q  ( y  +Q  x ) ) )
9 prcdnq 9154 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  +Q  z )  <Q 
( y  +Q  x
)  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
108, 9sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( z  <Q  x  ->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1110impancom 440 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( y  +Q  x )  e.  B  ->  ( y  +Q  z
)  e.  B ) )
1211anim2d 565 . . . . . 6  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  -> 
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
1312eximdv 1676 . . . . 5  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  E. y ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
14 ltexprlem.1 . . . . . 6  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
1514abeq2i 2545 . . . . 5  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
16 vex 2970 . . . . . 6  |-  z  e. 
_V
17 oveq2 6094 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  z  ->  (
y  +Q  x )  =  ( y  +Q  z ) )
1817eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  z  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  <->  ( y  +Q  z )  e.  B
) )
1918anbi2d 703 . . . . . . 7  |-  ( x  =  z  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  <->  ( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z
)  e.  B ) ) )
2019exbidv 1680 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) ) )
2116, 20, 14elab2 3104 . . . . 5  |-  ( z  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  z )  e.  B ) )
2213, 15, 213imtr4g 270 . . . 4  |-  ( ( B  e.  P.  /\  z  <Q  x )  -> 
( x  e.  C  ->  z  e.  C ) )
2322ex 434 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
z  <Q  x  ->  (
x  e.  C  -> 
z  e.  C ) ) )
2423com23 78 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  -> 
( z  <Q  x  ->  z  e.  C ) ) )
2524alrimdv 1687 1  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  A. z ( z  <Q  x  ->  z  e.  C
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1367    = wceq 1369   E.wex 1586    e. wcel 1756   {cab 2424   class class class wbr 4287    X. cxp 4833  (class class class)co 6086   Q.cnq 9011    +Q cplq 9014    <Q cltq 9017   P.cnp 9018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-ni 9033  df-pli 9034  df-mi 9035  df-lti 9036  df-plpq 9069  df-ltpq 9071  df-enq 9072  df-nq 9073  df-erq 9074  df-plq 9075  df-1nq 9077  df-ltnq 9079  df-np 9142
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9201
  Copyright terms: Public domain W3C validator