MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem2 Structured version   Unicode version

Theorem ltexprlem2 9432
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C. 
Q. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem2
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21abeq2i 2584 . . . 4  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
3 elprnq 9386 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
4 addnqf 9343 . . . . . . . . . . 11  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5742 . . . . . . . . . 10  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
6 0nnq 9319 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Q.
75, 6ndmovrcl 6460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
83, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  e. 
Q.  /\  x  e.  Q. ) )
9 ltaddnq 9369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
109ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
11 addcomnq 9346 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +Q  y )  =  ( y  +Q  x
)
1210, 11syl6breq 4495 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 prcdnq 9388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( x  <Q  ( y  +Q  x )  ->  x  e.  B
) )
1412, 13syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  e.  B ) )
158, 14mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  B
)
1615ex 434 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  ->  x  e.  B )
)
1716adantld 467 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
1817exlimdv 1725 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B )
)
192, 18syl5bi 217 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  x  e.  B )
)
2019ssrdv 3505 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C_  B )
21 prpssnq 9385 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  B  C. 
Q. )
2220, 21sspsstrd 3608 1  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C. 
Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819   {cab 2442    C. wpss 3472   class class class wbr 4456    X. cxp 5006  (class class class)co 6296   Q.cnq 9247    +Q cplq 9250    <Q cltq 9253   P.cnp 9254
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ni 9267  df-pli 9268  df-mi 9269  df-lti 9270  df-plpq 9303  df-mpq 9304  df-ltpq 9305  df-enq 9306  df-nq 9307  df-erq 9308  df-plq 9309  df-mq 9310  df-1nq 9311  df-ltnq 9313  df-np 9376
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9435
  Copyright terms: Public domain W3C validator