MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem2 Unicode version

Theorem ltexprlem2 8870
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C.  Q. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem2
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21abeq2i 2511 . . . 4  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
3 elprnq 8824 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
4 addnqf 8781 . . . . . . . . . . 11  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5555 . . . . . . . . . 10  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
6 0nnq 8757 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Q.
75, 6ndmovrcl 6192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
83, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  e. 
Q.  /\  x  e.  Q. ) )
9 ltaddnq 8807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
109ancoms 440 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
11 addcomnq 8784 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +Q  y )  =  ( y  +Q  x
)
1210, 11syl6breq 4211 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 prcdnq 8826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( x  <Q  ( y  +Q  x )  ->  x  e.  B
) )
1412, 13syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  e.  B ) )
158, 14mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  B
)
1615ex 424 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  ->  x  e.  B )
)
1716adantld 454 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
1817exlimdv 1643 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B )
)
192, 18syl5bi 209 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  x  e.  B )
)
2019ssrdv 3314 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C_  B )
21 prpssnq 8823 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  B  C.  Q. )
2220, 21sspsstrd 3415 1  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C.  Q. )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   {cab 2390    C. wpss 3281   class class class wbr 4172    X. cxp 4835  (class class class)co 6040   Q.cnq 8683    +Q cplq 8686    <Q cltq 8689   P.cnp 8690
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  8873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ni 8705  df-pli 8706  df-mi 8707  df-lti 8708  df-plpq 8741  df-mpq 8742  df-ltpq 8743  df-enq 8744  df-nq 8745  df-erq 8746  df-plq 8747  df-mq 8748  df-1nq 8749  df-ltnq 8751  df-np 8814
  Copyright terms: Public domain W3C validator