MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltexprlem2 Structured version   Unicode version

Theorem ltexprlem2 9411
Description: Lemma for Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123. (Contributed by NM, 3-Apr-1996.) (New usage is discouraged.)
Hypothesis
Ref Expression
ltexprlem.1  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
Assertion
Ref Expression
ltexprlem2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C. 
Q. )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, B, y    x, C
Allowed substitution hint:    C( y)

Proof of Theorem ltexprlem2
StepHypRef Expression
1 ltexprlem.1 . . . . 5  |-  C  =  { x  |  E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B ) }
21abeq2i 2594 . . . 4  |-  ( x  e.  C  <->  E. y
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B ) )
3 elprnq 9365 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  +Q  x )  e.  Q. )
4 addnqf 9322 . . . . . . . . . . 11  |-  +Q  :
( Q.  X.  Q. )
--> Q.
54fdmi 5734 . . . . . . . . . 10  |-  dom  +Q  =  ( Q.  X.  Q. )
6 0nnq 9298 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (/)  e.  Q.
75, 6ndmovrcl 6443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  +Q  x )  e.  Q.  ->  (
y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )
)
83, 7syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( y  e. 
Q.  /\  x  e.  Q. ) )
9 ltaddnq 9348 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  e.  Q.  /\  y  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
109ancoms 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( x  +Q  y ) )
11 addcomnq 9325 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  +Q  y )  =  ( y  +Q  x
)
1210, 11syl6breq 4486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  <Q  ( y  +Q  x ) )
13 prcdnq 9367 . . . . . . . . 9  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( x  <Q  ( y  +Q  x )  ->  x  e.  B
) )
1412, 13syl5 32 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  ( ( y  e.  Q.  /\  x  e.  Q. )  ->  x  e.  B ) )
158, 14mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  P.  /\  ( y  +Q  x
)  e.  B )  ->  x  e.  B
)
1615ex 434 . . . . . 6  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( y  +Q  x
)  e.  B  ->  x  e.  B )
)
1716adantld 467 . . . . 5  |-  ( B  e.  P.  ->  (
( -.  y  e.  A  /\  ( y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B ) )
1817exlimdv 1700 . . . 4  |-  ( B  e.  P.  ->  ( E. y ( -.  y  e.  A  /\  (
y  +Q  x )  e.  B )  ->  x  e.  B )
)
192, 18syl5bi 217 . . 3  |-  ( B  e.  P.  ->  (
x  e.  C  ->  x  e.  B )
)
2019ssrdv 3510 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C_  B )
21 prpssnq 9364 . 2  |-  ( B  e.  P.  ->  B  C. 
Q. )
2220, 21sspsstrd 3612 1  |-  ( B  e.  P.  ->  C  C. 
Q. )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767   {cab 2452    C. wpss 3477   class class class wbr 4447    X. cxp 4997  (class class class)co 6282   Q.cnq 9226    +Q cplq 9229    <Q cltq 9232   P.cnp 9233
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-omul 7132  df-er 7308  df-ni 9246  df-pli 9247  df-mi 9248  df-lti 9249  df-plpq 9282  df-mpq 9283  df-ltpq 9284  df-enq 9285  df-nq 9286  df-erq 9287  df-plq 9288  df-mq 9289  df-1nq 9290  df-ltnq 9292  df-np 9355
This theorem is referenced by:  ltexprlem5  9414
  Copyright terms: Public domain W3C validator