Theorem ltexpri 6301

Description: Proposition 9-3.5(iv) of [Gleason] p. 123.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexpri.1	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
ltexpri	|- (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpri

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltexpri.1	. . 3 |- B e. _V
2		ltrelpr 6253	. . 3 |- <P C_ (P. X. P.)
3	1, 2	brel 4048	. 2 |- (A <P B -> (A e. P. /\ B e. P.))
4		ltprord 6286	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B <-> A C. B))
5		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . 12 |- (y = z -> (w +Q y) = (w +Q z))
6	5	eleq1d 1963	. . . . . . . . . . 11 |- (y = z -> ((w +Q y) e. B <-> (w +Q z) e. B))
7	6	anbi2d 678	. . . . . . . . . 10 |- (y = z -> ((-. w e. A /\ (w +Q y) e. B) <-> (-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)))
8	7	exbidv 1657	. . . . . . . . 9 |- (y = z -> (E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B) <-> E.w(-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)))
9	8	cbvabv 2420	. . . . . . . 8 |- {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} = {z | E.w(-. w e. A /\ (w +Q z) e. B)}
10	9	ltexprlem5 6298	. . . . . . 7 |- ((B e. P. /\ A C. B) -> {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P.)
11	10	adantll 428	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A C. B) -> {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P.)
12	9	ltexprlem6 6299	. . . . . . 7 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A C. B) -> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) C_ B)
13	9	ltexprlem7 6300	. . . . . . 7 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A C. B) -> B C_ (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}))
14	12, 13	eqssd 2633	. . . . . 6 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A C. B) -> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B)
15		opreq2 4890	. . . . . . . 8 |- (x = {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} -> (A +P. x) = (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}))
16	15	eqeq1d 1892	. . . . . . 7 |- (x = {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} -> ((A +P. x) = B <-> (A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B))
17	16	cla4egv 2365	. . . . . 6 |- ({y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)} e. P. -> ((A +P. {y | E.w(-. w e. A /\ (w +Q y) e. B)}) = B -> E.x(A +P. x) = B))
18	11, 14, 17	sylc 83	. . . . 5 |- (((A e. P. /\ B e. P.) /\ A C. B) -> E.x(A +P. x) = B)
19	18	ex 402	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A C. B -> E.x(A +P. x) = B))
20	4, 19	sylbid 220	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B -> E.x(A +P. x) = B))
21		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- ((A +P. x) = B -> ((A +P. x) e. P. <-> B e. P.))
22		visset 2295	. . . . . . . . . 10 |- x e. _V
23		dmplp 6267	. . . . . . . . . 10 |- dom +P. = (P. X. P.)
24		0npr 6248	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. P.
25	22, 23, 24	ndmoprrcl 4979	. . . . . . . . 9 |- ((A +P. x) e. P. -> (A e. P. /\ x e. P.))
26	25	simprd 352	. . . . . . . 8 |- ((A +P. x) e. P. -> x e. P.)
27	21, 26	syl6bir 232	. . . . . . 7 |- ((A +P. x) = B -> (B e. P. -> x e. P.))
28	27	com12 14	. . . . . 6 |- (B e. P. -> ((A +P. x) = B -> x e. P.))
29	28	adantl 424	. . . . 5 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A +P. x) = B -> x e. P.))
30	29	ancrd 323	. . . 4 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> ((A +P. x) = B -> (x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
31	30	eximdv 1669	. . 3 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (E.x(A +P. x) = B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
32	20, 31	syld 30	. 2 |- ((A e. P. /\ B e. P.) -> (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B)))
33	3, 32	mpcom 60	1 |- (A <P B -> E.x(x e. P. /\ (A +P. x) = B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  {cab 1871  _Vcvv 2292   C. wpss 2594   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884   +Q cplq 6133  P.cnp 6137   +P. cpp 6139   <P cltp 6141

This theorem is referenced by:  ltaprlem 6302  recexsrlem 6364  mulgt0sr 6366  map2psrpr 6372

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-plp 6240  df-ltp 6242

Copyright terms: Public domain