Theorem ltexpq 6232

Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119.

Hypothesis

Ref	Expression
ltexpq.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
ltexpq	|- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.x(A +Q x) = B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltexpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-nq 6190	. . 3 |- Q. = ((N. X. N.)/. ~Q )
2		breq1 3341	. . . 4 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> ([<.y, z>.] ~Q <Q [<.w, v>.] ~Q <-> A <Q [<.w, v>.] ~Q ))
3		opreq1 4889	. . . . . 6 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> ([<.y, z>.] ~Q +Q x) = (A +Q x))
4	3	eqeq1d 1892	. . . . 5 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> (([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q <-> (A +Q x) = [<.w, v>.] ~Q ))
5	4	exbidv 1657	. . . 4 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> (E.x([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q <-> E.x(A +Q x) = [<.w, v>.] ~Q ))
6	2, 5	imbi12d 688	. . 3 |- ([<.y, z>.] ~Q = A -> (([<.y, z>.] ~Q <Q [<.w, v>.] ~Q -> E.x([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q ) <-> (A <Q [<.w, v>.] ~Q -> E.x(A +Q x) = [<.w, v>.] ~Q )))
7		breq2 3342	. . . 4 |- ([<.w, v>.] ~Q = B -> (A <Q [<.w, v>.] ~Q <-> A <Q B))
8		eqeq2 1893	. . . . 5 |- ([<.w, v>.] ~Q = B -> ((A +Q x) = [<.w, v>.] ~Q <-> (A +Q x) = B))
9	8	exbidv 1657	. . . 4 |- ([<.w, v>.] ~Q = B -> (E.x(A +Q x) = [<.w, v>.] ~Q <-> E.x(A +Q x) = B))
10	7, 9	imbi12d 688	. . 3 |- ([<.w, v>.] ~Q = B -> ((A <Q [<.w, v>.] ~Q -> E.x(A +Q x) = [<.w, v>.] ~Q ) <-> (A <Q B -> E.x(A +Q x) = B)))
11		mulclpi 6173	. . . . . . . 8 |- ((y e. N. /\ v e. N.) -> (y .N v) e. N.)
12		mulclpi 6173	. . . . . . . 8 |- ((z e. N. /\ w e. N.) -> (z .N w) e. N.)
13	11, 12	anim12i 360	. . . . . . 7 |- (((y e. N. /\ v e. N.) /\ (z e. N. /\ w e. N.)) -> ((y .N v) e. N. /\ (z .N w) e. N.))
14	13	an42s 567	. . . . . 6 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((y .N v) e. N. /\ (z .N w) e. N.))
15		ltexpi 6181	. . . . . 6 |- (((y .N v) e. N. /\ (z .N w) e. N.) -> ((y .N v) <N (z .N w) <-> E.u(u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))))
16	14, 15	syl 12	. . . . 5 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((y .N v) <N (z .N w) <-> E.u(u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))))
17		simpll 448	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> (y e. N. /\ z e. N.))
18		simpr 350	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> u e. N.)
19		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((y e. N. /\ z e. N.) -> z e. N.)
20		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((w e. N. /\ v e. N.) -> v e. N.)
21	19, 20	anim12i 360	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (z e. N. /\ v e. N.))
22	21	adantr 425	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> (z e. N. /\ v e. N.))
23		mulclpi 6173	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. N. /\ v e. N.) -> (z .N v) e. N.)
24	22, 23	syl 12	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> (z .N v) e. N.)
25	17, 18, 24	jca32 312	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> ((y e. N. /\ z e. N.) /\ (u e. N. /\ (z .N v) e. N.)))
26	25	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ((y e. N. /\ z e. N.) /\ (u e. N. /\ (z .N v) e. N.)))
27		addpipq 6206	. . . . . . . . . 10 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (u e. N. /\ (z .N v) e. N.)) -> ([<.y, z>.] ~Q +Q [<.u, (z .N v)>.] ~Q ) = [<.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q )
28	26, 27	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ([<.y, z>.] ~Q +Q [<.u, (z .N v)>.] ~Q ) = [<.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q )
29		simpllr 453	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> z e. N.)
30		addclpi 6172	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y .N v) e. N. /\ u e. N.) -> ((y .N v) +N u) e. N.)
31	11	ad2ant2rl 447	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (y .N v) e. N.)
32	30, 31	sylan 497	. . . . . . . . . . . 12 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> ((y .N v) +N u) e. N.)
33	29, 32, 24	3jca 1050	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ u e. N.) -> (z e. N. /\ ((y .N v) +N u) e. N. /\ (z .N v) e. N.))
34	33	adantrr 431	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> (z e. N. /\ ((y .N v) +N u) e. N. /\ (z .N v) e. N.))
35		visset 2295	. . . . . . . . . . . 12 |- z e. _V
36		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y .N v) +N u) e. _V
37		oprex 4907	. . . . . . . . . . . 12 |- (z .N v) e. _V
38	35, 36, 37	distrpqlem 6218	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. N. /\ ((y .N v) +N u) e. N. /\ (z .N v) e. N.) -> [<.(z .N ((y .N v) +N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q = [<.((y .N v) +N u), (z .N v)>.] ~Q )
39		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- y e. _V
40		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- v e. _V
41		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- x e. _V
42		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- w e. _V
43	41, 42	mulcompi 6176	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- (x .N w) = (w .N x)
44		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- u e. _V
45	42, 44	mulasspi 6177	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x .N w) .N u) = (x .N (w .N u))
46	39, 35, 40, 43, 45	caopr12 4994	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y .N (z .N v)) = (z .N (y .N v))
47	46	opreq1i 4892	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) = ((z .N (y .N v)) +N (z .N u))
48		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (y .N v) e. _V
49	48, 44	distrpi 6178	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (z .N ((y .N v) +N u)) = ((z .N (y .N v)) +N (z .N u))
50	47, 49	eqtr4i 1911	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y .N (z .N v)) +N (z .N u)) = (z .N ((y .N v) +N u))
51	50	opeq1i 3161	. . . . . . . . . . . 12 |- <.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)), (z .N (z .N v))>. = <.(z .N ((y .N v) +N u)), (z .N (z .N v))>.
52		eceq2 5336	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)), (z .N (z .N v))>. = <.(z .N ((y .N v) +N u)), (z .N (z .N v))>. -> [<.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q = [<.(z .N ((y .N v) +N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q )
53	51, 52	ax-mp 7	. . . . . . . . . . 11 |- [<.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q = [<.(z .N ((y .N v) +N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q
54	38, 53	syl5eq 1940	. . . . . . . . . 10 |- ((z e. N. /\ ((y .N v) +N u) e. N. /\ (z .N v) e. N.) -> [<.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q = [<.((y .N v) +N u), (z .N v)>.] ~Q )
55	34, 54	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> [<.((y .N (z .N v)) +N (z .N u)), (z .N (z .N v))>.] ~Q = [<.((y .N v) +N u), (z .N v)>.] ~Q )
56		3anass 862	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) <-> (z e. N. /\ (w e. N. /\ v e. N.)))
57	56	biimpri 169	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z e. N. /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.))
58	57	adantll 428	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.))
59	58	anim1i 361	. . . . . . . . . . 11 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)) -> ((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)))
60	59	adantrl 430	. . . . . . . . . 10 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)))
61		opeq1 3158	. . . . . . . . . . . 12 |- (((y .N v) +N u) = (z .N w) -> <.((y .N v) +N u), (z .N v)>. = <.(z .N w), (z .N v)>.)
62		eceq2 5336	. . . . . . . . . . . 12 |- (<.((y .N v) +N u), (z .N v)>. = <.(z .N w), (z .N v)>. -> [<.((y .N v) +N u), (z .N v)>.] ~Q = [<.(z .N w), (z .N v)>.] ~Q )
63	61, 62	syl 12	. . . . . . . . . . 11 |- (((y .N v) +N u) = (z .N w) -> [<.((y .N v) +N u), (z .N v)>.] ~Q = [<.(z .N w), (z .N v)>.] ~Q )
64	35, 42, 40	distrpqlem 6218	. . . . . . . . . . 11 |- ((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) -> [<.(z .N w), (z .N v)>.] ~Q = [<.w, v>.] ~Q )
65	63, 64	sylan9eqr 1951	. . . . . . . . . 10 |- (((z e. N. /\ w e. N. /\ v e. N.) /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)) -> [<.((y .N v) +N u), (z .N v)>.] ~Q = [<.w, v>.] ~Q )
66	60, 65	syl 12	. . . . . . . . 9 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> [<.((y .N v) +N u), (z .N v)>.] ~Q = [<.w, v>.] ~Q )
67	28, 55, 66	3eqtrd 1929	. . . . . . . 8 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> ([<.y, z>.] ~Q +Q [<.u, (z .N v)>.] ~Q ) = [<.w, v>.] ~Q )
68		enqex 6200	. . . . . . . . . 10 |- ~Q e. _V
69		ecexg 5322	. . . . . . . . . 10 |- ( ~Q e. _V -> [<.u, (z .N v)>.] ~Q e. _V)
70	68, 69	ax-mp 7	. . . . . . . . 9 |- [<.u, (z .N v)>.] ~Q e. _V
71		opreq2 4890	. . . . . . . . . 10 |- (x = [<.u, (z .N v)>.] ~Q -> ([<.y, z>.] ~Q +Q x) = ([<.y, z>.] ~Q +Q [<.u, (z .N v)>.] ~Q ))
72	71	eqeq1d 1892	. . . . . . . . 9 |- (x = [<.u, (z .N v)>.] ~Q -> (([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q <-> ([<.y, z>.] ~Q +Q [<.u, (z .N v)>.] ~Q ) = [<.w, v>.] ~Q ))
73	70, 72	cla4ev 2371	. . . . . . . 8 |- (([<.y, z>.] ~Q +Q [<.u, (z .N v)>.] ~Q ) = [<.w, v>.] ~Q -> E.x([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q )
74	67, 73	syl 12	. . . . . . 7 |- ((((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) /\ (u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w))) -> E.x([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q )
75	74	ex 402	. . . . . 6 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)) -> E.x([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q ))
76	75	19.23adv 1584	. . . . 5 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> (E.u(u e. N. /\ ((y .N v) +N u) = (z .N w)) -> E.x([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q ))
77	16, 76	sylbid 220	. . . 4 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ((y .N v) <N (z .N w) -> E.x([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q ))
78	39, 35, 42, 40	ordpipq 6208	. . . 4 |- ([<.y, z>.] ~Q <Q [<.w, v>.] ~Q <-> (y .N v) <N (z .N w))
79	77, 78	syl5ib 223	. . 3 |- (((y e. N. /\ z e. N.) /\ (w e. N. /\ v e. N.)) -> ([<.y, z>.] ~Q <Q [<.w, v>.] ~Q -> E.x([<.y, z>.] ~Q +Q x) = [<.w, v>.] ~Q ))
80	1, 6, 10, 79	2ecoptocl 5363	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B -> E.x(A +Q x) = B))
81		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- ((A +Q x) = B -> ((A +Q x) e. Q. <-> B e. Q.))
82		dmaddpq 6211	. . . . . . . . . 10 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
83		0npq 6202	. . . . . . . . . 10 |- -. (/) e. Q.
84	41, 82, 83	ndmoprrcl 4979	. . . . . . . . 9 |- ((A +Q x) e. Q. -> (A e. Q. /\ x e. Q.))
85	84	simprd 352	. . . . . . . 8 |- ((A +Q x) e. Q. -> x e. Q.)
86	81, 85	syl6bir 232	. . . . . . 7 |- ((A +Q x) = B -> (B e. Q. -> x e. Q.))
87		ltexpq.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
88	87, 41	ltaddpq 6231	. . . . . . . 8 |- ((A e. Q. /\ x e. Q.) -> A <Q (A +Q x))
89	88	ex 402	. . . . . . 7 |- (A e. Q. -> (x e. Q. -> A <Q (A +Q x)))
90	86, 89	syl9 71	. . . . . 6 |- ((A +Q x) = B -> (A e. Q. -> (B e. Q. -> A <Q (A +Q x))))
91	90	imp3a 388	. . . . 5 |- ((A +Q x) = B -> ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> A <Q (A +Q x)))
92		breq2 3342	. . . . 5 |- ((A +Q x) = B -> (A <Q (A +Q x) <-> A <Q B))
93	91, 92	sylibd 219	. . . 4 |- ((A +Q x) = B -> ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> A <Q B))
94	93	com12 14	. . 3 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> ((A +Q x) = B -> A <Q B))
95	94	19.23adv 1584	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (E.x(A +Q x) = B -> A <Q B))
96	80, 95	impbid 574	1 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.x(A +Q x) = B))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292  <.cop 3046   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  [cec 5316  N.cnpi 6124   +N cpli 6125   .N cmi 6126   <N clti 6127   ~Q ceq 6130  Q.cnq 6131   +Q cplq 6133   <Q cltq 6136

This theorem is referenced by:  ltexpq2 6233  ltbtwnpq 6236  prnmadd 6252  ltexprlem4 6297  ltexprlem7 6300

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-ltq 6194  df-1q 6195

Copyright terms: Public domain