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Theorem ltexnq 9418
 Description: Ordering on positive fractions in terms of existence of sum. Definition in Proposition 9-2.6 of [Gleason] p. 119. (Contributed by NM, 24-Apr-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltexnq
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltexnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9369 . . . 4
21brel 4888 . . 3
3 ordpinq 9386 . . . 4
4 elpqn 9368 . . . . . . . . 9
54adantr 472 . . . . . . . 8
6 xp1st 6842 . . . . . . . 8
75, 6syl 17 . . . . . . 7
8 elpqn 9368 . . . . . . . . 9
98adantl 473 . . . . . . . 8
10 xp2nd 6843 . . . . . . . 8
119, 10syl 17 . . . . . . 7
12 mulclpi 9336 . . . . . . 7
137, 11, 12syl2anc 673 . . . . . 6
14 xp1st 6842 . . . . . . . 8
159, 14syl 17 . . . . . . 7
16 xp2nd 6843 . . . . . . . 8
175, 16syl 17 . . . . . . 7
18 mulclpi 9336 . . . . . . 7
1915, 17, 18syl2anc 673 . . . . . 6
20 ltexpi 9345 . . . . . 6
2113, 19, 20syl2anc 673 . . . . 5
22 relxp 4947 . . . . . . . . . . . 12
234ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
24 1st2nd 6858 . . . . . . . . . . . 12
2522, 23, 24sylancr 676 . . . . . . . . . . 11
2625oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10
277adantr 472 . . . . . . . . . . 11
2817adantr 472 . . . . . . . . . . 11
29 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
30 mulclpi 9336 . . . . . . . . . . . . 13
3117, 11, 30syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
3231adantr 472 . . . . . . . . . . 11
33 addpipq 9380 . . . . . . . . . . 11
3427, 28, 29, 32, 33syl22anc 1293 . . . . . . . . . 10
3526, 34eqtrd 2505 . . . . . . . . 9
36 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12
37 distrpi 9341 . . . . . . . . . . . . 13
38 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
39 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
40 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15
41 mulcompi 9339 . . . . . . . . . . . . . . 15
42 mulasspi 9340 . . . . . . . . . . . . . . 15
4338, 39, 40, 41, 42caov12 6516 . . . . . . . . . . . . . 14
44 mulcompi 9339 . . . . . . . . . . . . . 14
4543, 44oveq12i 6320 . . . . . . . . . . . . 13
4637, 45eqtr2i 2494 . . . . . . . . . . . 12
47 mulasspi 9340 . . . . . . . . . . . . 13
48 mulcompi 9339 . . . . . . . . . . . . . 14
4948oveq2i 6319 . . . . . . . . . . . . 13
5047, 49eqtri 2493 . . . . . . . . . . . 12
5136, 46, 503eqtr4g 2530 . . . . . . . . . . 11
52 mulasspi 9340 . . . . . . . . . . . . 13
5352eqcomi 2480 . . . . . . . . . . . 12
5453a1i 11 . . . . . . . . . . 11
5551, 54opeq12d 4166 . . . . . . . . . 10
5655eqeq2d 2481 . . . . . . . . 9
5735, 56syl5ibcom 228 . . . . . . . 8
58 fveq2 5879 . . . . . . . . 9
59 adderpq 9399 . . . . . . . . . . 11
60 nqerid 9376 . . . . . . . . . . . . 13
6160ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . 12
6261oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11
6359, 62syl5eqr 2519 . . . . . . . . . 10
64 mulclpi 9336 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6517, 17, 64syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15
6665adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
6715adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
6811adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
69 mulcanenq 9403 . . . . . . . . . . . . . 14
7066, 67, 68, 69syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13
718ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14
72 1st2nd 6858 . . . . . . . . . . . . . 14
7322, 71, 72sylancr 676 . . . . . . . . . . . . 13
7470, 73breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . 12
75 mulclpi 9336 . . . . . . . . . . . . . . 15
7666, 67, 75syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
77 mulclpi 9336 . . . . . . . . . . . . . . 15
7866, 68, 77syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14
79 opelxpi 4871 . . . . . . . . . . . . . 14
8076, 78, 79syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
81 nqereq 9378 . . . . . . . . . . . . 13
8280, 71, 81syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12
8374, 82mpbid 215 . . . . . . . . . . 11
84 nqerid 9376 . . . . . . . . . . . 12
8584ad2antlr 741 . . . . . . . . . . 11
8683, 85eqtrd 2505 . . . . . . . . . 10
8763, 86eqeq12d 2486 . . . . . . . . 9
8858, 87syl5ib 227 . . . . . . . 8
8957, 88syld 44 . . . . . . 7
90 fvex 5889 . . . . . . . 8
91 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
9291eqeq1d 2473 . . . . . . . 8
9390, 92spcev 3127 . . . . . . 7
9489, 93syl6 33 . . . . . 6
9594rexlimdva 2871 . . . . 5
9621, 95sylbid 223 . . . 4
973, 96sylbid 223 . . 3
982, 97mpcom 36 . 2
99 eleq1 2537 . . . . . . 7
10099biimparc 495 . . . . . 6
101 addnqf 9391 . . . . . . . 8
102101fdmi 5746 . . . . . . 7
103 0nnq 9367 . . . . . . 7
104102, 103ndmovrcl 6474 . . . . . 6
105 ltaddnq 9417 . . . . . 6
106100, 104, 1053syl 18 . . . . 5
107 simpr 468 . . . . 5
108106, 107breqtrd 4420 . . . 4
109108ex 441 . . 3
110109exlimdv 1787 . 2
11198, 110impbid2 209 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904  wrex 2757  cop 3965   class class class wbr 4395   cxp 4837   wrel 4844  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1st 6810  c2nd 6811  cnpi 9287   cpli 9288   cmi 9289   clti 9290   cplpq 9291   ceq 9294  cnq 9295  cerq 9297   cplq 9298   cltq 9301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-pli 9316  df-mi 9317  df-lti 9318  df-plpq 9351  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-plq 9357  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-ltnq 9361 This theorem is referenced by:  ltbtwnnq  9421  prnmadd  9440  ltexprlem4  9482  ltexprlem7  9485  prlem936  9490
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