Theorem lteqtpos 15024

Description: The "less than or equal to" relationship on the extended reals is a poset.

Assertion

Ref	Expression
lteqtpos	|- <_ e. Poset

Proof of Theorem lteqtpos

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-le 6658	. . 3 |- <_ = ((RR* X. RR*) \ `' < )
2		xrex 6659	. . . . 5 |- RR* e. _V
3	2, 2	xpex 4096	. . . 4 |- (RR* X. RR*) e. _V
4		difexg 3458	. . . 4 |- ((RR* X. RR*) e. _V -> ((RR* X. RR*) \ `' < ) e. _V)
5	3, 4	ax-mp 7	. . 3 |- ((RR* X. RR*) \ `' < ) e. _V
6	1, 5	eqeltri 1967	. 2 |- <_ e. _V
7		leqrl 15022	. . . 4 |- Rel <_
8		visset 2295	. . . . . . . 8 |- z e. _V
9		xrletr2 15018	. . . . . . . 8 |- (z e. _V -> ((x <_ y /\ y <_ z) -> x <_ z))
10	8, 9	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- ((x <_ y /\ y <_ z) -> x <_ z)
11	10	ax-gen 1305	. . . . . 6 |- A.z((x <_ y /\ y <_ z) -> x <_ z)
12	11	gen2 1329	. . . . 5 |- A.xA.yA.z((x <_ y /\ y <_ z) -> x <_ z)
13		cotr 4302	. . . . 5 |- (( <_ o. <_ ) C_ <_ <-> A.xA.yA.z((x <_ y /\ y <_ z) -> x <_ z))
14	12, 13	mpbir 207	. . . 4 |- ( <_ o. <_ ) C_ <_
15		asymref 4308	. . . . 5 |- (( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U.U. <_ ) <-> A.x e. U.U. <_ A.y((x <_ y /\ y <_ x) <-> x = y))
16		fldleqt 15023	. . . . . . 7 |- U.U. <_ = RR*
17	16	eleq2i 1961	. . . . . 6 |- (x e. U.U. <_ <-> x e. RR*)
18		mlteqer 15017	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. RR* -> (y <_ x -> (y e. RR* /\ x e. RR*)))
19		letri31 15019	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((x e. RR* /\ y e. RR*) -> (x = y <-> (x <_ y /\ y <_ x)))
20	19	biimprd 171	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((x e. RR* /\ y e. RR*) -> ((x <_ y /\ y <_ x) -> x = y))
21	20	exp3a 405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((x e. RR* /\ y e. RR*) -> (x <_ y -> (y <_ x -> x = y)))
22	21	com23 36	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR* /\ y e. RR*) -> (y <_ x -> (x <_ y -> x = y)))
23	22	ancoms 484	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((y e. RR* /\ x e. RR*) -> (y <_ x -> (x <_ y -> x = y)))
24	18, 23	syl6 25	. . . . . . . . . . . 12 |- (x e. RR* -> (y <_ x -> (y <_ x -> (x <_ y -> x = y))))
25	24	com4l 43	. . . . . . . . . . 11 |- (y <_ x -> (y <_ x -> (x <_ y -> (x e. RR* -> x = y))))
26	25	pm2.43i 78	. . . . . . . . . 10 |- (y <_ x -> (x <_ y -> (x e. RR* -> x = y)))
27	26	impcom 378	. . . . . . . . 9 |- ((x <_ y /\ y <_ x) -> (x e. RR* -> x = y))
28	27	com12 14	. . . . . . . 8 |- (x e. RR* -> ((x <_ y /\ y <_ x) -> x = y))
29		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- (x = y -> (x e. RR* <-> y e. RR*))
30	19	biimpd 170	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((x e. RR* /\ y e. RR*) -> (x = y -> (x <_ y /\ y <_ x)))
31	30	ex 402	. . . . . . . . . . . . 13 |- (x e. RR* -> (y e. RR* -> (x = y -> (x <_ y /\ y <_ x))))
32	31	com3l 38	. . . . . . . . . . . 12 |- (y e. RR* -> (x = y -> (x e. RR* -> (x <_ y /\ y <_ x))))
33	29, 32	syl6bi 231	. . . . . . . . . . 11 |- (x = y -> (x e. RR* -> (x = y -> (x e. RR* -> (x <_ y /\ y <_ x)))))
34	33	pm2.43a 80	. . . . . . . . . 10 |- (x = y -> (x e. RR* -> (x e. RR* -> (x <_ y /\ y <_ x))))
35	34	com13 37	. . . . . . . . 9 |- (x e. RR* -> (x e. RR* -> (x = y -> (x <_ y /\ y <_ x))))
36	35	pm2.43i 78	. . . . . . . 8 |- (x e. RR* -> (x = y -> (x <_ y /\ y <_ x)))
37	28, 36	impbid 574	. . . . . . 7 |- (x e. RR* -> ((x <_ y /\ y <_ x) <-> x = y))
38	37	19.21aiv 1664	. . . . . 6 |- (x e. RR* -> A.y((x <_ y /\ y <_ x) <-> x = y))
39	17, 38	sylbi 216	. . . . 5 |- (x e. U.U. <_ -> A.y((x <_ y /\ y <_ x) <-> x = y))
40	15, 39	mprgbir 2163	. . . 4 |- ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U.U. <_ )
41	7, 14, 40	3pm3.2i 1048	. . 3 |- (Rel <_ /\ ( <_ o. <_ ) C_ <_ /\ ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U.U. <_ ))
42		isps 9988	. . 3 |- ( <_ e. _V -> ( <_ e. Poset <-> (Rel <_ /\ ( <_ o. <_ ) C_ <_ /\ ( <_ i^i `' <_ ) = ( _I |` U.U. <_ ))))
43	41, 42	mpbiri 211	. 2 |- ( <_ e. _V -> <_ e. Poset)
44	6, 43	ax-mp 7	1 |- <_ e. Poset

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858  A.wal 1296   = wceq 1298   e. wcel 1300  _Vcvv 2292   \ cdif 2590   i^i cin 2592   C_ wss 2593  U.cuni 3177   class class class wbr 3338   _I cid 3582   X. cxp 3984  `'ccnv 3985   |` cres 3988   o. ccom 3990  Rel wrel 3991   <_ cle 6448  RR*cxr 6652   < clt 6653  Posetcps 9980

This theorem is referenced by:  supnuf 15041  supexr 15043

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-nel 2020  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-en 5427  df-dom 5428  df-sdom 5429  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-rq 6193  df-ltq 6194  df-1q 6195  df-np 6238  df-1p 6239  df-plp 6240  df-ltp 6242  df-enr 6318  df-nr 6319  df-ltr 6322  df-0r 6323  df-c 6392  df-r 6396  df-lt 6399  df-pnf 6654  df-mnf 6655  df-xr 6656  df-ltxr 6657  df-le 6658  df-ps 9984

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