MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltdivmuld Structured version   Unicode version

Theorem ltdivmuld 11095
Description: 'Less than' relationship between division and multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltmul1d.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltmul1d.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltmul1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ltdivmuld  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  C )  <  B  <->  A  <  ( C  x.  B ) ) )

Proof of Theorem ltdivmuld
StepHypRef Expression
1 ltmul1d.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltmul1d.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltmul1d.3 . . 3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
43rpregt0d 11054 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
5 ltdivmul 10225 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( A  /  C )  <  B  <->  A  <  ( C  x.  B ) ) )
61, 2, 4, 5syl3anc 1218 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  /  C )  <  B  <->  A  <  ( C  x.  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    e. wcel 1756   class class class wbr 4313  (class class class)co 6112   RRcr 9302   0cc0 9303    x. cmul 9308    < clt 9439    / cdiv 10014   RR+crp 11012
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-op 3905  df-uni 4113  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-er 7122  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-div 10015  df-rp 11013
This theorem is referenced by:  flhalf  11695  expmulnbnd  12017  reccn2  13095  o1rlimmul  13117  bitsfzolem  13651  bitsmod  13653  bitscmp  13655  bitsinv1lem  13658  nrginvrcnlem  20293  logdivlti  22091  logcnlem4  22112  logdiflbnd  22410  ftalem1  22432  ftalem2  22433  bposlem2  22646  pntrlog2bndlem2  22849  pntrlog2bndlem4  22851  pntlemc  22866  pntlemb  22868  ostth3  22909  lgamcvg2  27063  sinccvglem  27339  itg2addnclem2  28470  areacirclem1  28510
  Copyright terms: Public domain W3C validator