Theorem ltdiv23i 10466

Description: Swap denominator with other side of 'less than'. (Contributed by NM, 26-Sep-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltplus1.1	|- A e. RR
prodgt0.2	|- B e. RR
ltmul1.3	|- C e. RR

Assertion

Ref	Expression
ltdiv23i	|- ( ( 0 < B /\ 0 < C ) -> ( ( A / B ) < C <-> ( A / C ) < B ) )

Proof of Theorem ltdiv23i

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmul1.3	. 2 |- C e. RR
2		prodgt0.2	. . 3 |- B e. RR
3		ltplus1.1	. . . 4 |- A e. RR
4		ltdiv23 10432	. . . 4 |- ( ( A e. RR /\ ( B e. RR /\ 0 < B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / B ) < C <-> ( A / C ) < B ) )
5	3, 4	mp3an1 1311	. . 3 |- ( ( ( B e. RR /\ 0 < B ) /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / B ) < C <-> ( A / C ) < B ) )
6	2, 5	mpanl1 680	. 2 |- ( ( 0 < B /\ ( C e. RR /\ 0 < C ) ) -> ( ( A / B ) < C <-> ( A / C ) < B ) )
7	1, 6	mpanr1 683	1 |- ( ( 0 < B /\ 0 < C ) -> ( ( A / B ) < C <-> ( A / C ) < B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   e. wcel 1767   class class class wbr 4447  (class class class)co 6282   RRcr 9487   0cc0 9488   < clt 9624   / cdiv 10202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-op 4034  df-uni 4246  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-er 7308  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203

This theorem is referenced by:  ltdiv23ii  10469