MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Unicode version

Theorem ltbwe 17559
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
ltbval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
ltbval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ltbval.t  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
ltbwe.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
Assertion
Ref Expression
ltbwe  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Distinct variable groups:    h, I    ph, h
Allowed substitution hints:    C( h)    D( h)    T( h)    V( h)    W( h)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2443 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2 breq1 4300 . . . . . 6  |-  ( h  =  x  ->  (
h finSupp  0  <->  x finSupp  0 )
)
32cbvrabv 2976 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  x finSupp  0 }
4 ltbwe.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  We  I )
5 nn0uz 10900 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6 ltweuz 11789 . . . . . . 7  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
7 weeq2 4714 . . . . . . 7  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
86, 7mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  <  We  NN0 )
95, 8mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <  We  NN0 )
10 0nn0 10599 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
11 ne0i 3648 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  NN0  =/=  (/) )
1210, 11mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN0  =/=  (/) )
13 eqid 2443 . . . . 5  |- OrdIso ( T ,  I )  = OrdIso
( T ,  I
)
14 0z 10662 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
15 hashgval2 12146 . . . . . . 7  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
1614, 15om2uzoi 11783 . . . . . 6  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
17 oieq2 7732 . . . . . . 7  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  -> OrdIso (  <  , 
NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) ) )
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6  |- OrdIso (  <  ,  NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
1916, 18eqtr4i 2466 . . . . 5  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  NN0 )
20 peano1 6500 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
21 fvres 5709 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
#  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) )
23 hash0 12140 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
2422, 23eqtr2i 2464 . . . . 5  |-  0  =  ( ( #  |` 
om ) `  (/) )
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 7933 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
26 ltbval.d . . . . . 6  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
27 elmapi 7239 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  h : I --> NN0 )
28 ffun 5566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : I --> NN0  ->  Fun  h )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  Fun  h )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  Fun  h )
31 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )
32 c0ex 9385 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  0  e.  _V )
34 funisfsupp 7630 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  h  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  0  e.  _V )  ->  ( h finSupp 
0  <->  ( h supp  0
)  e.  Fin )
)
3530, 31, 33, 34syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( h finSupp  0  <-> 
( h supp  0 )  e.  Fin ) )
36 ltbval.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
37 frnnn0supp 10638 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  h : I --> NN0 )  ->  ( h supp  0 )  =  ( `' h " NN ) )
3837eleq1d 2509 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  h : I --> NN0 )  ->  ( ( h supp  0
)  e.  Fin  <->  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) )
3936, 27, 38syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( (
h supp  0 )  e. 
Fin 
<->  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
4035, 39bitr2d 254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  <->  h finSupp  0 ) )
4140rabbidva 2968 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
4226, 41syl5eq 2487 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
43 weeq2 4714 . . . . 5  |-  ( D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 }  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  We  D  <->  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  h finSupp  0 } ) )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  We  D  <->  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  h finSupp  0 } ) )
4525, 44mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  D )
46 weinxp 4911 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
4745, 46sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
48 ltbval.c . . . . 5  |-  C  =  ( T  <bag  I )
49 ltbval.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
5048, 26, 36, 49ltbval 17558 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) } )
51 df-xp 4851 . . . . . . 7  |-  ( D  X.  D )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }
52 vex 2980 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
53 vex 2980 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
5452, 53prss 4032 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  { x ,  y } 
C_  D )
5554opabbii 4361 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }
5651, 55eqtr2i 2464 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }  =  ( D  X.  D
)
5756ineq1i 3553 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )
58 inopab 4975 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }
59 incom 3548 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
6057, 58, 593eqtr3i 2471 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }  =  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
6150, 60syl6eq 2491 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D
) ) )
62 weeq1 4713 . . 3  |-  ( C  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  ->  ( C  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
6361, 62syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  We  D  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
6447, 63mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724   _Vcvv 2977    i^i cin 3332    C_ wss 3333   (/)c0 3642   {cpr 3884   class class class wbr 4297   {copab 4354    We wwe 4683    X. cxp 4843   `'ccnv 4844    |` cres 4847   "cima 4848   Fun wfun 5417   -->wf 5419   ` cfv 5423  (class class class)co 6096   omcom 6481   supp csupp 6695    ^m cmap 7219   Fincfn 7315   finSupp cfsupp 7625  OrdIsocoi 7728   0cc0 9287    < clt 9423   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZ>=cuz 10866   #chash 12108    <bag cltb 17426
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-supp 6696  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-seqom 6908  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-oexp 6931  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-fsupp 7626  df-oi 7729  df-cnf 7873  df-card 8114  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-hash 12109  df-ltbag 17431
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  17571
  Copyright terms: Public domain W3C validator