MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Unicode version

Theorem ltbwe 17936
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
ltbval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
ltbval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ltbval.t  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
ltbwe.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
Assertion
Ref Expression
ltbwe  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Distinct variable groups:    h, I    ph, h
Allowed substitution hints:    C( h)    D( h)    T( h)    V( h)    W( h)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2467 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2 breq1 4450 . . . . . 6  |-  ( h  =  x  ->  (
h finSupp  0  <->  x finSupp  0 )
)
32cbvrabv 3112 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  x finSupp  0 }
4 ltbwe.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  We  I )
5 nn0uz 11116 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6 ltweuz 12040 . . . . . . 7  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
7 weeq2 4868 . . . . . . 7  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
86, 7mpbiri 233 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  <  We  NN0 )
95, 8mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <  We  NN0 )
10 0nn0 10810 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
11 ne0i 3791 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  NN0  =/=  (/) )
1210, 11mp1i 12 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN0  =/=  (/) )
13 eqid 2467 . . . . 5  |- OrdIso ( T ,  I )  = OrdIso
( T ,  I
)
14 0z 10875 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
15 hashgval2 12414 . . . . . . 7  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
1614, 15om2uzoi 12034 . . . . . 6  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
17 oieq2 7938 . . . . . . 7  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  -> OrdIso (  <  , 
NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) ) )
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6  |- OrdIso (  <  ,  NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
1916, 18eqtr4i 2499 . . . . 5  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  NN0 )
20 peano1 6703 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
21 fvres 5880 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
#  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) )
23 hash0 12405 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
2422, 23eqtr2i 2497 . . . . 5  |-  0  =  ( ( #  |` 
om ) `  (/) )
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 8139 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
26 ltbval.d . . . . . 6  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
27 elmapi 7440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  h : I --> NN0 )
28 ffun 5733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( h : I --> NN0  ->  Fun  h )
2927, 28syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  Fun  h )
3029adantl 466 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  Fun  h )
31 simpr 461 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )
32 c0ex 9590 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
3332a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  0  e.  _V )
34 funisfsupp 7834 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  h  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  0  e.  _V )  ->  ( h finSupp 
0  <->  ( h supp  0
)  e.  Fin )
)
3530, 31, 33, 34syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( h finSupp  0  <-> 
( h supp  0 )  e.  Fin ) )
36 ltbval.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
37 frnnn0supp 10849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  h : I --> NN0 )  ->  ( h supp  0 )  =  ( `' h " NN ) )
3837eleq1d 2536 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  h : I --> NN0 )  ->  ( ( h supp  0
)  e.  Fin  <->  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) )
3936, 27, 38syl2an 477 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( (
h supp  0 )  e. 
Fin 
<->  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
4035, 39bitr2d 254 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  <->  h finSupp  0 ) )
4140rabbidva 3104 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
4226, 41syl5eq 2520 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
43 weeq2 4868 . . . . 5  |-  ( D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 }  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  We  D  <->  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  h finSupp  0 } ) )
4442, 43syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  We  D  <->  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  h finSupp  0 } ) )
4525, 44mpbird 232 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  D )
46 weinxp 5067 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
4745, 46sylib 196 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
48 ltbval.c . . . . 5  |-  C  =  ( T  <bag  I )
49 ltbval.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
5048, 26, 36, 49ltbval 17935 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) } )
51 df-xp 5005 . . . . . . 7  |-  ( D  X.  D )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }
52 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
53 vex 3116 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
5452, 53prss 4181 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  { x ,  y } 
C_  D )
5554opabbii 4511 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }
5651, 55eqtr2i 2497 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }  =  ( D  X.  D
)
5756ineq1i 3696 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )
58 inopab 5133 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }
59 incom 3691 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
6057, 58, 593eqtr3i 2504 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }  =  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
6150, 60syl6eq 2524 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D
) ) )
62 weeq1 4867 . . 3  |-  ( C  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  ->  ( C  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
6361, 62syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  We  D  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
6447, 63mpbird 232 1  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    i^i cin 3475    C_ wss 3476   (/)c0 3785   {cpr 4029   class class class wbr 4447   {copab 4504    We wwe 4837    X. cxp 4997   `'ccnv 4998    |` cres 5001   "cima 5002   Fun wfun 5582   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   omcom 6684   supp csupp 6901    ^m cmap 7420   Fincfn 7516   finSupp cfsupp 7829  OrdIsocoi 7934   0cc0 9492    < clt 9628   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZ>=cuz 11082   #chash 12373    <bag cltb 17802
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6902  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-seqom 7113  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-oexp 7136  df-er 7311  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fsupp 7830  df-oi 7935  df-cnf 8079  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-hash 12374  df-ltbag 17807
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  17948
  Copyright terms: Public domain W3C validator