MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbwe Structured version   Unicode version

Theorem ltbwe 18631
Description: The finite bag order is a well-order, given a well-order of the index set. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ltbval.c  |-  C  =  ( T  <bag  I )
ltbval.d  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
ltbval.i  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
ltbval.t  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
ltbwe.w  |-  ( ph  ->  T  We  I )
Assertion
Ref Expression
ltbwe  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Distinct variable groups:    h, I    ph, h
Allowed substitution hints:    C( h)    D( h)    T( h)    V( h)    W( h)

Proof of Theorem ltbwe
Dummy variables  x  y  w  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2429 . . . . 5  |-  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  =  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }
2 breq1 4429 . . . . . 6  |-  ( h  =  x  ->  (
h finSupp  0  <->  x finSupp  0 )
)
32cbvrabv 3086 . . . . 5  |-  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 }  =  { x  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  x finSupp  0 }
4 ltbwe.w . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  We  I )
5 nn0uz 11193 . . . . . 6  |-  NN0  =  ( ZZ>= `  0 )
6 ltweuz 12172 . . . . . . 7  |-  <  We  ( ZZ>= `  0 )
7 weeq2 4843 . . . . . . 7  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  (  <  We 
NN0 
<->  <  We  ( ZZ>= ` 
0 ) ) )
86, 7mpbiri 236 . . . . . 6  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  ->  <  We  NN0 )
95, 8mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  <  We  NN0 )
10 0nn0 10884 . . . . . 6  |-  0  e.  NN0
11 ne0i 3773 . . . . . 6  |-  ( 0  e.  NN0  ->  NN0  =/=  (/) )
1210, 11mp1i 13 . . . . 5  |-  ( ph  ->  NN0  =/=  (/) )
13 eqid 2429 . . . . 5  |- OrdIso ( T ,  I )  = OrdIso
( T ,  I
)
14 0z 10948 . . . . . . 7  |-  0  e.  ZZ
15 hashgval2 12554 . . . . . . 7  |-  ( #  |` 
om )  =  ( rec ( ( x  e.  _V  |->  ( x  +  1 ) ) ,  0 )  |`  om )
1614, 15om2uzoi 12166 . . . . . 6  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
17 oieq2 8028 . . . . . . 7  |-  ( NN0  =  ( ZZ>= `  0
)  -> OrdIso (  <  , 
NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) ) )
185, 17ax-mp 5 . . . . . 6  |- OrdIso (  <  ,  NN0 )  = OrdIso (  <  ,  ( ZZ>= `  0
) )
1916, 18eqtr4i 2461 . . . . 5  |-  ( #  |` 
om )  = OrdIso (  <  ,  NN0 )
20 peano1 6726 . . . . . . 7  |-  (/)  e.  om
21 fvres 5895 . . . . . . 7  |-  ( (/)  e.  om  ->  ( ( #  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) ) )
2220, 21ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( (
#  |`  om ) `  (/) )  =  ( # `  (/) )
23 hash0 12545 . . . . . 6  |-  ( # `  (/) )  =  0
2422, 23eqtr2i 2459 . . . . 5  |-  0  =  ( ( #  |` 
om ) `  (/) )
251, 3, 4, 9, 12, 13, 19, 24wemapwe 8201 . . . 4  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
26 ltbval.d . . . . . 6  |-  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }
27 elmapfun 7503 . . . . . . . . . 10  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  Fun  h )
2827adantl 467 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  Fun  h )
29 simpr 462 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )
30 c0ex 9636 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  0  e.  _V )
32 funisfsupp 7894 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  h  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I
)  /\  0  e.  _V )  ->  ( h finSupp 
0  <->  ( h supp  0
)  e.  Fin )
)
3328, 29, 31, 32syl3anc 1264 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( h finSupp  0  <-> 
( h supp  0 )  e.  Fin ) )
34 ltbval.i . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  I  e.  V )
35 elmapi 7501 . . . . . . . . 9  |-  ( h  e.  ( NN0  ^m  I )  ->  h : I --> NN0 )
36 frnnn0supp 10923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  h : I --> NN0 )  ->  ( h supp  0 )  =  ( `' h " NN ) )
3736eleq1d 2498 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  h : I --> NN0 )  ->  ( ( h supp  0
)  e.  Fin  <->  ( `' h " NN )  e. 
Fin ) )
3834, 35, 37syl2an 479 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( (
h supp  0 )  e. 
Fin 
<->  ( `' h " NN )  e.  Fin ) )
3933, 38bitr2d 257 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  h  e.  ( NN0  ^m  I ) )  ->  ( ( `' h " NN )  e.  Fin  <->  h finSupp  0 ) )
4039rabbidva 3078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  { h  e.  ( NN0  ^m  I )  |  ( `' h " NN )  e.  Fin }  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
4126, 40syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ph  ->  D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 } )
42 weeq2 4843 . . . . 5  |-  ( D  =  { h  e.  ( NN0  ^m  I
)  |  h finSupp  0 }  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  We  D  <->  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  h finSupp  0 } ) )
4341, 42syl 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  We  D  <->  {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  { h  e.  ( NN0 
^m  I )  |  h finSupp  0 } ) )
4425, 43mpbird 235 . . 3  |-  ( ph  ->  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  We  D )
45 weinxp 4922 . . 3  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
4644, 45sylib 199 . 2  |-  ( ph  ->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D )
47 ltbval.c . . . . 5  |-  C  =  ( T  <bag  I )
48 ltbval.t . . . . 5  |-  ( ph  ->  T  e.  W )
4947, 26, 34, 48ltbval 18630 . . . 4  |-  ( ph  ->  C  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) } )
50 df-xp 4860 . . . . . . 7  |-  ( D  X.  D )  =  { <. x ,  y
>.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }
51 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  x  e. 
_V
52 vex 3090 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
_V
5351, 52prss 4157 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  D  /\  y  e.  D )  <->  { x ,  y } 
C_  D )
5453opabbii 4490 . . . . . . 7  |-  { <. x ,  y >.  |  ( x  e.  D  /\  y  e.  D ) }  =  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }
5550, 54eqtr2i 2459 . . . . . 6  |-  { <. x ,  y >.  |  {
x ,  y } 
C_  D }  =  ( D  X.  D
)
5655ineq1i 3666 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )
57 inopab 4985 . . . . 5  |-  ( {
<. x ,  y >.  |  { x ,  y }  C_  D }  i^i  { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) } )  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }
58 incom 3661 . . . . 5  |-  ( ( D  X.  D )  i^i  { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) } )  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
5956, 57, 583eqtr3i 2466 . . . 4  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  D  /\  E. z  e.  I  ( ( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) ) }  =  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )
6049, 59syl6eq 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  C  =  ( {
<. x ,  y >.  |  E. z  e.  I 
( ( x `  z )  <  (
y `  z )  /\  A. w  e.  I 
( z T w  ->  ( x `  w )  =  ( y `  w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D
) ) )
61 weeq1 4842 . . 3  |-  ( C  =  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  ->  ( C  We  D 
<->  ( { <. x ,  y >.  |  E. z  e.  I  (
( x `  z
)  <  ( y `  z )  /\  A. w  e.  I  (
z T w  -> 
( x `  w
)  =  ( y `
 w ) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
6260, 61syl 17 . 2  |-  ( ph  ->  ( C  We  D  <->  ( { <. x ,  y
>.  |  E. z  e.  I  ( (
x `  z )  <  ( y `  z
)  /\  A. w  e.  I  ( z T w  ->  ( x `
 w )  =  ( y `  w
) ) ) }  i^i  ( D  X.  D ) )  We  D ) )
6346, 62mpbird 235 1  |-  ( ph  ->  C  We  D )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   A.wral 2782   E.wrex 2783   {crab 2786   _Vcvv 3087    i^i cin 3441    C_ wss 3442   (/)c0 3767   {cpr 4004   class class class wbr 4426   {copab 4483    We wwe 4812    X. cxp 4852   `'ccnv 4853    |` cres 4856   "cima 4857   Fun wfun 5595   -->wf 5597   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   omcom 6706   supp csupp 6925    ^m cmap 7480   Fincfn 7577   finSupp cfsupp 7889  OrdIsocoi 8024   0cc0 9538    < clt 9674   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZ>=cuz 11159   #chash 12512    <bag cltb 18513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-supp 6926  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-seqom 7173  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-oexp 7196  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-fsupp 7890  df-oi 8025  df-cnf 8166  df-card 8372  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-hash 12513  df-ltbag 18518
This theorem is referenced by:  opsrtoslem2  18643
  Copyright terms: Public domain W3C validator