Theorem ltbtwnpq 6236

Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120.

Hypotheses

Ref	Expression
ltbtwnpq.1	|- A e. _V
ltbtwnpq.2	|- B e. _V

Assertion

Ref	Expression
ltbtwnpq	|- (A <Q B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem ltbtwnpq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltbtwnpq.2	. . 3 |- B e. _V
2		ltrelpq 6203	. . 3 |- <Q C_ (Q. X. Q.)
3	1, 2	brel 4048	. 2 |- (A <Q B -> (A e. Q. /\ B e. Q.))
4		ltbtwnpq.1	. . . 4 |- A e. _V
5	4	ltexpq 6232	. . 3 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B <-> E.y(A +Q y) = B))
6		eleq1 1957	. . . . . . . 8 |- ((A +Q y) = B -> ((A +Q y) e. Q. <-> B e. Q.))
7		visset 2295	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
8		dmaddpq 6211	. . . . . . . . 9 |- dom +Q = (Q. X. Q.)
9		0npq 6202	. . . . . . . . 9 |- -. (/) e. Q.
10	7, 8, 9	ndmoprrcl 4979	. . . . . . . 8 |- ((A +Q y) e. Q. -> (A e. Q. /\ y e. Q.))
11	6, 10	syl6bir 232	. . . . . . 7 |- ((A +Q y) = B -> (B e. Q. -> (A e. Q. /\ y e. Q.)))
12		halfpq 6234	. . . . . . . . . 10 |- (y e. Q. -> E.z(z +Q z) = y)
13	12	adantl 424	. . . . . . . . 9 |- ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> E.z(z +Q z) = y)
14		opreq2 4890	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((z +Q z) = y -> (A +Q (z +Q z)) = (A +Q y))
15	14	eqeq1d 1892	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q (z +Q z)) = B <-> (A +Q y) = B))
16		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ((A +Q (z +Q z)) = B -> ((A +Q z) <Q (A +Q (z +Q z)) <-> (A +Q z) <Q B))
17		oprex 4907	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- (A +Q z) e. _V
18		visset 2295	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- z e. _V
19	17, 18	ltaddpq 6231	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- (((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q ((A +Q z) +Q z))
20	18, 18	addasspq 6215	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ((A +Q z) +Q z) = (A +Q (z +Q z))
21	19, 20	syl6breq 3376	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- (((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q (A +Q (z +Q z)))
22	16, 21	syl5bi 225	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A +Q (z +Q z)) = B -> (((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B))
23	15, 22	syl6bir 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q y) = B -> (((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B)))
24		addclpq 6210	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) e. Q.)
25		simpr 350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> z e. Q.)
26	24, 25	jca 310	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> ((A +Q z) e. Q. /\ z e. Q.))
27	23, 26	syl7 26	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q y) = B -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B)))
28	4, 18	ltaddpq 6231	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> A <Q (A +Q z))
29		pm3.43i 309	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (((A e. Q. /\ z e. Q.) -> A <Q (A +Q z)) -> (((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B) -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B))))
30	28, 29	ax-mp 7	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A +Q z) <Q B) -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B)))
31	27, 30	syl6 25	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q y) = B -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> (A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B))))
32		breq2 3342	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (A +Q z) -> (A <Q x <-> A <Q (A +Q z)))
33		breq1 3341	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- (x = (A +Q z) -> (x <Q B <-> (A +Q z) <Q B))
34	32, 33	anbi12d 690	. . . . . . . . . . . . . 14 |- (x = (A +Q z) -> ((A <Q x /\ x <Q B) <-> (A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B)))
35	17, 34	cla4ev 2371	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((A <Q (A +Q z) /\ (A +Q z) <Q B) -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))
36	31, 35	syl8 27	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z +Q z) = y -> ((A +Q y) = B -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))))
37	36	com23 36	. . . . . . . . . . 11 |- ((z +Q z) = y -> ((A e. Q. /\ z e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))))
38		eleq1 1957	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z +Q z) = y -> ((z +Q z) e. Q. <-> y e. Q.))
39	18, 8, 9	ndmoprrcl 4979	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((z +Q z) e. Q. -> (z e. Q. /\ z e. Q.))
40	39	simplld 348	. . . . . . . . . . . 12 |- ((z +Q z) e. Q. -> z e. Q.)
41	38, 40	syl6bir 232	. . . . . . . . . . 11 |- ((z +Q z) = y -> (y e. Q. -> z e. Q.))
42	37, 41	sylan2d 507	. . . . . . . . . 10 |- ((z +Q z) = y -> ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))))
43	42	19.23aiv 1674	. . . . . . . . 9 |- (E.z(z +Q z) = y -> ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))))
44	13, 43	mpcom 60	. . . . . . . 8 |- ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
45	44	com12 14	. . . . . . 7 |- ((A +Q y) = B -> ((A e. Q. /\ y e. Q.) -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
46	11, 45	syld 30	. . . . . 6 |- ((A +Q y) = B -> (B e. Q. -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
47	46	com12 14	. . . . 5 |- (B e. Q. -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
48	47	adantl 424	. . . 4 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> ((A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
49	48	19.23adv 1584	. . 3 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (E.y(A +Q y) = B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
50	5, 49	sylbid 220	. 2 |- ((A e. Q. /\ B e. Q.) -> (A <Q B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B)))
51	3, 50	mpcom 60	1 |- (A <Q B -> E.x(A <Q x /\ x <Q B))

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  E.wex 1326  _Vcvv 2292   class class class wbr 3338  (class class class)co 4884  Q.cnq 6131   +Q cplq 6133   <Q cltq 6136

This theorem is referenced by:  1pr 6269  reclem2pr 6309

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790  ax-inf2 5731

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3or 859  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-reu 2111  df-rab 2112  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-pss 2607  df-nul 2876  df-if 2983  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-tp 3052  df-op 3053  df-uni 3178  df-int 3215  df-iun 3257  df-br 3339  df-opab 3396  df-tr 3412  df-eprel 3583  df-id 3586  df-po 3591  df-so 3604  df-fr 3625  df-we 3644  df-ord 3660  df-on 3661  df-lim 3662  df-suc 3663  df-om 3950  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-rdg 5140  df-1o 5177  df-oadd 5179  df-omul 5180  df-er 5318  df-ec 5320  df-qs 5323  df-ni 6152  df-pli 6153  df-mi 6154  df-lti 6155  df-plpq 6187  df-mpq 6188  df-enq 6189  df-nq 6190  df-plq 6191  df-mq 6192  df-ltq 6194  df-1q 6195

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