Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltbtwnnq Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem ltbtwnnq 9421
 Description: There exists a number between any two positive fractions. Proposition 9-2.6(i) of [Gleason] p. 120. (Contributed by NM, 17-Mar-1996.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
ltbtwnnq
Distinct variable groups:   ,   ,

Proof of Theorem ltbtwnnq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ltrelnq 9369 . . . . 5
21brel 4888 . . . 4
32simprd 470 . . 3
4 ltexnq 9418 . . . 4
5 eleq1 2537 . . . . . . . . . 10
65biimparc 495 . . . . . . . . 9
7 addnqf 9391 . . . . . . . . . . 11
87fdmi 5746 . . . . . . . . . 10
9 0nnq 9367 . . . . . . . . . 10
108, 9ndmovrcl 6474 . . . . . . . . 9
116, 10syl 17 . . . . . . . 8
1211simprd 470 . . . . . . 7
13 nsmallnq 9420 . . . . . . . 8
1411simpld 466 . . . . . . . . . . . 12
151brel 4888 . . . . . . . . . . . . 13
1615simpld 466 . . . . . . . . . . . 12
17 ltaddnq 9417 . . . . . . . . . . . 12
1814, 16, 17syl2an 485 . . . . . . . . . . 11
19 ltanq 9414 . . . . . . . . . . . . . 14
2019biimpa 492 . . . . . . . . . . . . 13
2114, 20sylan 479 . . . . . . . . . . . 12
22 simplr 770 . . . . . . . . . . . 12
2321, 22breqtrd 4420 . . . . . . . . . . 11
24 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12
25 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . 13
26 breq1 4398 . . . . . . . . . . . . 13
2725, 26anbi12d 725 . . . . . . . . . . . 12
2824, 27spcev 3127 . . . . . . . . . . 11
2918, 23, 28syl2anc 673 . . . . . . . . . 10
3029ex 441 . . . . . . . . 9
3130exlimdv 1787 . . . . . . . 8
3213, 31syl5 32 . . . . . . 7
3312, 32mpd 15 . . . . . 6
3433ex 441 . . . . 5
3534exlimdv 1787 . . . 4
364, 35sylbid 223 . . 3
373, 36mpcom 36 . 2
38 ltsonq 9412 . . . 4
3938, 1sotri 5233 . . 3
4039exlimiv 1784 . 2
4137, 40impbii 192 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   class class class wbr 4395   cxp 4837  (class class class)co 6308  cnq 9295   cplq 9298   cltq 9301 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ni 9315  df-pli 9316  df-mi 9317  df-lti 9318  df-plpq 9351  df-mpq 9352  df-ltpq 9353  df-enq 9354  df-nq 9355  df-erq 9356  df-plq 9357  df-mq 9358  df-1nq 9359  df-rq 9360  df-ltnq 9361 This theorem is referenced by:  nqpr  9457  reclem2pr  9491
 Copyright terms: Public domain W3C validator