MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddsubd Structured version   Unicode version

Theorem ltaddsubd 10202
Description: 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
leidd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
ltnegd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
ltadd1d.3  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
Assertion
Ref Expression
ltaddsubd  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  <  C  <->  A  <  ( C  -  B ) ) )

Proof of Theorem ltaddsubd
StepHypRef Expression
1 leidd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  RR )
2 ltnegd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3 ltadd1d.3 . 2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
4 ltaddsub 10077 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <  C  <->  A  <  ( C  -  B ) ) )
51, 2, 3, 4syl3anc 1264 1  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  <  C  <->  A  <  ( C  -  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    e. wcel 1867   class class class wbr 4417  (class class class)co 6296   RRcr 9527    + caddc 9531    < clt 9664    - cmin 9849
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1838  ax-8 1869  ax-9 1871  ax-10 1886  ax-11 1891  ax-12 1904  ax-13 2052  ax-ext 2398  ax-sep 4539  ax-nul 4547  ax-pow 4594  ax-pr 4652  ax-un 6588  ax-resscn 9585  ax-1cn 9586  ax-icn 9587  ax-addcl 9588  ax-addrcl 9589  ax-mulcl 9590  ax-mulrcl 9591  ax-mulcom 9592  ax-addass 9593  ax-mulass 9594  ax-distr 9595  ax-i2m1 9596  ax-1ne0 9597  ax-1rid 9598  ax-rnegex 9599  ax-rrecex 9600  ax-cnre 9601  ax-pre-lttri 9602  ax-pre-lttrn 9603  ax-pre-ltadd 9604
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2267  df-mo 2268  df-clab 2406  df-cleq 2412  df-clel 2415  df-nfc 2570  df-ne 2618  df-nel 2619  df-ral 2778  df-rex 2779  df-reu 2780  df-rab 2782  df-v 3080  df-sbc 3297  df-csb 3393  df-dif 3436  df-un 3438  df-in 3440  df-ss 3447  df-nul 3759  df-if 3907  df-pw 3978  df-sn 3994  df-pr 3996  df-op 4000  df-uni 4214  df-br 4418  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-id 4760  df-po 4766  df-so 4767  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5556  df-fun 5594  df-fn 5595  df-f 5596  df-f1 5597  df-fo 5598  df-f1o 5599  df-fv 5600  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-er 7362  df-en 7569  df-dom 7570  df-sdom 7571  df-pnf 9666  df-mnf 9667  df-xr 9668  df-ltxr 9669  df-le 9670  df-sub 9851  df-neg 9852
This theorem is referenced by:  elfzodifsumelfzo  11966  elfzom1p1elfzo  11979  elfzomelpfzo  11999  dfceil2  12054  modltm1p1mod  12128  modaddmodlo  12140  discr  12395  swrdccatin1  12813  swrdccatin12lem3  12820  repswswrd  12861  ovolshftlem1  22369  dvcvx  22879  efif1olem2  23396  logcnlem4  23494  ang180lem2  23643  ftalem5  23905  mersenne  24057  perfectlem2  24060  lgseisen  24183  pntlemr  24342  numclwwlkovf2ex  25700  itg2addnclem2  31742  rmspecsqrtnq  35508  jm2.24nn  35563  suplesup  37219  stoweidlem42  37520  stoweidlem60  37538  fourierdlem41  37627  fourierdlem97  37683  perfectALTVlem2  38291  bgoldbst  38326  evengpoap3  38341  zm1nn  38455  ltsubaddb  39128
  Copyright terms: Public domain W3C validator