MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltaddsub Structured version   Unicode version

Theorem ltaddsub 9812
Description: 'Less than' relationship between addition and subtraction. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
Assertion
Ref Expression
ltaddsub  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <  C  <->  A  <  ( C  -  B ) ) )

Proof of Theorem ltaddsub
StepHypRef Expression
1 lesubadd 9810 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <_  A  <->  C  <_  ( A  +  B ) ) )
213com13 1192 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <_  A  <->  C  <_  ( A  +  B ) ) )
3 resubcl 9672 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  -  B
)  e.  RR )
4 lenlt 9452 . . . . . 6  |-  ( ( ( C  -  B
)  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  <_  A  <->  -.  A  <  ( C  -  B ) ) )
53, 4sylan 471 . . . . 5  |-  ( ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR )  /\  A  e.  RR )  ->  ( ( C  -  B )  <_  A 
<->  -.  A  <  ( C  -  B )
) )
653impa 1182 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  A  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <_  A  <->  -.  A  <  ( C  -  B
) ) )
763com13 1192 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( C  -  B
)  <_  A  <->  -.  A  <  ( C  -  B
) ) )
8 readdcl 9364 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( A  +  B
)  e.  RR )
9 lenlt 9452 . . . . . 6  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( A  +  B
)  e.  RR )  ->  ( C  <_ 
( A  +  B
)  <->  -.  ( A  +  B )  <  C
) )
108, 9sylan2 474 . . . . 5  |-  ( ( C  e.  RR  /\  ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR ) )  ->  ( C  <_  ( A  +  B
)  <->  -.  ( A  +  B )  <  C
) )
11103impb 1183 . . . 4  |-  ( ( C  e.  RR  /\  A  e.  RR  /\  B  e.  RR )  ->  ( C  <_  ( A  +  B )  <->  -.  ( A  +  B )  <  C ) )
12113coml 1194 . . 3  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( C  <_  ( A  +  B )  <->  -.  ( A  +  B )  <  C ) )
132, 7, 123bitr3rd 284 . 2  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  ( -.  ( A  +  B
)  <  C  <->  -.  A  <  ( C  -  B
) ) )
1413con4bid 293 1  |-  ( ( A  e.  RR  /\  B  e.  RR  /\  C  e.  RR )  ->  (
( A  +  B
)  <  C  <->  A  <  ( C  -  B ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    e. wcel 1756   class class class wbr 4291  (class class class)co 6090   RRcr 9280    + caddc 9284    < clt 9417    <_ cle 9418    - cmin 9594
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-op 3883  df-uni 4091  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-er 7100  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597
This theorem is referenced by:  ltaddsub2  9813  ltsub13  9819  ltaddsubi  9900  ltaddsubd  9938  iooshf  11373  ltdifltdiv  11677  swrdswrd  12353  sincosq3sgn  21961  sincosq4sgn  21962  ftc1anclem6  28470
  Copyright terms: Public domain W3C validator